(IV) Uma partícula de massa m_{1}=0,5 \mathrm{~kg} se move ao longo do eixo x com velocidade de 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e colide elasticamente com outra partícula de mesma massa em repouso. Após a colisão, a primeira partícula segue em direção que faz 60^{\circ} com o eixo x.
(a) Determine as velocidades finais de cada partícula.
(b) Mostre explicitamente a conservação do momento linear em duas dimensões.
(c) Verifique a conservação da energia cinética.

Passo 1

O enunciado trata de uma colisão elástica entre duas partículas de mesma massa m=0{,}5\,\mathrm{kg}. A partícula 1 vem com velocidade inicial \vec v_{1i}=(6,0)\,\mathrm{m/s} e a partícula 2 está em repouso. Após a colisão, a partícula 1 desloca-se com direção que faz 60^\circ com o eixo x. Precisamos determinar as velocidades finais \vec v_{1f} e \vec v_{2f} em módulo e direção (item a), mostrar a conservação do momento linear em x e y (item b) e verificar a conservação da energia cinética (item c). Para isso usaremos as equações de conservação de momento \vec p_i=\vec p_f e de energia cinética K_i=K_f.

Passo 2

Escrevemos as duas equações vetoriais de conservação:
conservação do momento em componentes
\begin{cases} m\,v_{1i} = m\,v_{1f}\cos60^\circ \;+\; m\,v_{2f}\cos\varphi,\\[6pt] 0 = m\,v_{1f}\sin60^\circ \;+\; m\,v_{2f}\sin\varphi, \end{cases}
e conservação da energia cinética
\tfrac12\,m\,v_{1i}^2 \;=\;\tfrac12\,m\,v_{1f}^2 \;+\;\tfrac12\,m\,v_{2f}^2.
Cancelamos m e usamos v_{1i}=6.]

Passo 3

Num choque elástico de massas iguais, com a segunda partindo do repouso, as velocidades finais são perpendiculares: \vec v_{1f}\perp\vec v_{2f}.
Como \vec v_{1f} faz 60^\circ com x, a direção de \vec v_{2f} fica a 60^\circ-90^\circ=-30^\circ. Logo \varphi=-30^\circ, com \cos(-30^\circ)=\tfrac{\sqrt3}{2} e \sin(-30^\circ)=-\tfrac12.

Passo 4

Da conservação em y:
0 = v_{1f}\sin60^\circ + v_{2f}\sin(-30^\circ) \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{\sqrt3}{2}\,v_{1f} - \tfrac12\,v_{2f} = 0 \;\Longrightarrow\; v_{2f} = \sqrt3\,v_{1f}.
Da conservação de energia:
v_{1i}^2 = v_{1f}^2 + v_{2f}^2 \quad\Longrightarrow\quad 36 = v_{1f}^2 + (\sqrt3\,v_{1f})^2 = 4\,v_{1f}^2 \;\Longrightarrow\; v_{1f} = 3\,\mathrm{m/s},
e então
v_{2f} = \sqrt3\cdot3 = 3\sqrt3\,\mathrm{m/s}.

Passo 5

Conservação do momento linear em duas dimensões:
momento inicial
\vec p_i = (m\,6,\,0) = (3,0)\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
momento final
\vec p_f = m\bigl(v_{1f}\cos60^\circ,\;v_{1f}\sin60^\circ\bigr) + m\bigl(v_{2f}\cos(-30^\circ),\;v_{2f}\sin(-30^\circ)\bigr).
Substituindo valores:
\vec p_f =0{,}5\bigl(3\cdot\tfrac12,\;3\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) +0{,}5\bigl(3\sqrt3\cdot\tfrac{\sqrt3}{2},\;3\sqrt3\cdot(-\tfrac12)\bigr) =(3,0)\,\mathrm{kg\cdot m/s} =\vec p_i.

Passo 6

Conservação da energia cinética:
energia inicial
K_i = \tfrac12\,m\,6^2 = \tfrac12\cdot0{,}5\cdot36 = 9\,\mathrm J.
energia final
K_f = \tfrac12\,m\bigl(3^2 + (3\sqrt3)^2\bigr) = \tfrac12\cdot0{,}5\bigl(9+27\bigr) =9\,\mathrm J =K_i.

Resposta

(a) v_{1f}=3\,\mathrm{m/s} em 60^\circ e v_{2f}=3\sqrt3\,\mathrm{m/s} em -30^\circ.
(b) \vec p_i=(3,0)\,\mathrm{kg\cdot m/s}=\vec p_f em x e y.
(c) K_i=9\,\mathrm J=K_f.

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