Leis de kirchhoff e Circuitos - Até certo ponto, qualquer problema de circuitos pode ser resolvido de forma sistemática, por meio de duas regras, conhecidas como leis de Kirchhoff. Nesse sentido, faça o que se pede:
Circuito RC, ao ser ligado a uma bateria: (i") EDO e condição inicial associados à lei das malhas e (ii) sua solução; evidenciar a constante de tempo capacitiva.

Passo 1

O problema pede duas coisas quando um circuito RC é ligado a uma bateria (no instante t=0):
  1. (i'') Escrever a equação diferencial ordinária (EDO) e a condição inicial associadas à lei das malhas;
  2. Encontrar a solução temporal dessa EDO e evidenciar a constante de tempo capacitiva.
Informações dadas (situação padrão que vamos assumir, comum em provas):
  • Há uma fonte de tensão ideal com fem E (constante). Isso será chamado de E.
  • Há um resistor de resistência R.
  • Há um capacitor de capacitância C.
  • A chave fecha em t=0, ligando o conjunto; antes de t=0 o capacitor está descarregado (ou seja, a tensão inicial no capacitor é v_C(0)=0).
  • Variáveis que usaremos: corrente i(t) que percorre o circuito e tensão no capacitor v_C(t).

Passo 2

Entendendo e definindo as grandezas elétricas básicas (aula rápida e sem pressa).
  • A lei das malhas de Kirchhoff (KVL) diz que, num percurso fechado, a soma algébrica das quedas de tensão é igual à soma das forças eletromotrizes. Em palavras, somando os sinais corretos: tensão da fonte menos quedas em resistor e capacitor = 0.
  • A queda de tensão no resistor é dada por lei de Ohm: v_R(t)=R\,i(t). Aqui i(t) é a corrente instantânea; R tem unidades de ohm (\Omega).
  • A tensão no capacitor relaciona-se com a carga q(t) por q(t)=C\,v_C(t). A corrente é a taxa de variação da carga: i(t)=\dfrac{dq}{dt}=C\,\dfrac{dv_C}{dt}. Essa última é muito útil: corrente no capacitor é proporcional à derivada temporal da tensão no capacitor.
    Esses são conceitos essenciais; se algo disso estiver estranho, respira fundo: a ideia é que o capacitor “acumula carga”, e a velocidade disso é medida por i(t).

Passo 3

Aplicando a lei das malhas e montando a equação (sem pular passos).
Pelo KVL, percorrendo a malha começando na fonte:
E - v_R(t) - v_C(t)=0.
Substitui-se v_R(t)=R\,i(t) e i(t)=C\,\dfrac{dv_C}{dt}. Logo
E - R\biggl(C\,\dfrac{dv_C}{dt}\biggr) - v_C(t)=0.
Reorganizando:
RC\,\dfrac{dv_C}{dt} + v_C(t) = E.
Esta é a EDO de primeira ordem que descreve a evolução da tensão no capacitor após o fechamento da chave.

Passo 4

Colocando a EDO na forma padrão e identificando a constante de tempo.
Dividindo ambos os lados por RC obtém-se a forma padrão:
\dfrac{dv_C}{dt} + \dfrac{1}{RC}\,v_C(t) = \dfrac{E}{RC}.
Aqui aparece claramente o parâmetro
\tau \equiv RC,
chamado de constante de tempo capacitiva. É a escala temporal natural do circuito RC. Em termos de \tau a equação fica
\dfrac{dv_C}{dt} + \dfrac{1}{\tau}\,v_C(t) = \dfrac{E}{\tau}.
Interpretação física rápida da \tau: depois de um tempo da ordem de \tau, a tensão no capacitor já estará bem próxima do valor definitivo; mais precisamente, para carregamento a partir de v_C(0)=0, em t=\tau tem-se v_C(\tau)=E(1-e^{-1})\approx0,632\,E.

Passo 5

Resolvendo a EDO por método do fator integrante (passo a passo).
A EDO é linear de primeira ordem, da forma
\dfrac{dv_C}{dt} + p\,v_C = g,
com p=\dfrac{1}{RC} e g=\dfrac{E}{RC}. O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int p\,dt}=e^{t/(RC)}=e^{t/\tau}.
Multiplicando a equação pela \mu(t):
e^{t/\tau}\dfrac{dv_C}{dt} + \dfrac{1}{\tau}e^{t/\tau}v_C = \dfrac{E}{\tau}e^{t/\tau}.
O lado esquerdo é derivada do produto \dfrac{d}{dt}\bigl(e^{t/\tau}v_C(t)\bigr). Então:
\dfrac{d}{dt}\bigl(e^{t/\tau}v_C(t)\bigr) = \dfrac{E}{\tau}e^{t/\tau}.
Integramos ambos os lados de 0 até t:
e^{t/\tau}v_C(t) - e^{0}v_C(0) = \dfrac{E}{\tau}\int_{0}^{t} e^{s/\tau}\,ds.
Calcule a integral do exponencial. Sabendo que \int e^{s/\tau}\,ds = \tau e^{s/\tau}, obtemos
e^{t/\tau}v_C(t) - v_C(0) = \dfrac{E}{\tau}\bigl(\tau e^{t/\tau} - \tau e^{0}\bigr).
Simplificando:
e^{t/\tau}v_C(t) - v_C(0) = E\bigl(e^{t/\tau} - 1\bigr).
Isolando v_C(t):
v_C(t) = E - \bigl(E - v_C(0)\bigr)e^{-t/\tau}.
Essa é a solução geral para condições iniciais arbitrárias v_C(0).

Passo 6

Aplicando a condição inicial típica do problema e obtendo correntes (caso prático de prova).
Para o enunciado padrão "capacitor desligado antes e chave fecha em t=0", assume-se v_C(0)=0. Substituindo:
v_C(t) = E\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr),\qquad t\ge 0.
A corrente i(t) é i(t)=C\,\dfrac{dv_C}{dt}. Calculando a derivada:
\dfrac{dv_C}{dt} = E\cdot\dfrac{1}{\tau}e^{-t/\tau} = \dfrac{E}{RC}e^{-t/\tau}.
Portanto
i(t)=C\cdot \dfrac{E}{RC}e^{-t/\tau} = \dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}.
Observação física: no instante inicial t=0^+ a corrente vale i(0^+)=\dfrac{E}{R} (a resposta inicial é limitada pelo resistor porque o capacitor age como curto instantâneo a t=0^+); à medida que o capacitor carrega, a corrente decai exponencialmente para zero.

Passo 7

Interpretação da constante de tempo e dicas de prova (como usar \tau sem calculadora).
  • A constante \tau=RC tem unidades de tempo (segundos). Ela dá a escala de quanto tempo o circuito leva para evoluir: após t=\tau a tensão no capacitor alcança 1-e^{-1}\approx0{,}632 do valor final E. Após t=3\tau já está em cerca de 95\% do valor final; após t=5\tau está praticamente em >99\%.
  • Resultado resumido útil para provas: carregamento exponencial com solução do tipo constante final + termo transitório que decai como e^{-t/\tau}. Saber escrever a solução geral
v_C(t) = E + \bigl(v_C(0) - E\bigr)e^{-t/\tau}
é muitas vezes suficiente.
  • Se a prova pede a corrente, lembrar i(t)=\dfrac{E-v_C(t)}{R} ou usar i(t)=C\,dv_C/dt.

Resposta

(i") \;RC\,\dfrac{dv_C}{dt}+v_C(t)=E,\quad v_C(0)=0.
(ii) \;v_C(t)=E\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr),\quad i(t)=\dfrac{E}{R}e^{-t/(RC)}, com constante de tempo \tau=RC.

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