Leis de kirchhoff e Circuitos - Até certo ponto, qualquer problema de circuitos pode ser resolvido de forma sistemática, por meio de duas regras, conhecidas como leis de Kirchhoff. Nesse sentido, faça o que se pede:
Circuito RC, ao ser ligado a uma bateria: (i") EDO e condição inicial associados à lei das malhas e (ii) sua solução; evidenciar a constante de tempo capacitiva.
Circuito RC, ao ser ligado a uma bateria: (i") EDO e condição inicial associados à lei das malhas e (ii) sua solução; evidenciar a constante de tempo capacitiva.
Passo 1
O problema pede duas coisas quando um circuito RC é ligado a uma bateria (no instante
):
-
Escrever a equação diferencial ordinária (EDO) e a condição inicial associadas à lei das malhas; - Encontrar a solução temporal dessa EDO e evidenciar a constante de tempo capacitiva.
Informações dadas (situação padrão que vamos assumir, comum em provas):
- Há uma fonte de tensão ideal com fem
(constante). Isso será chamado de . - Há um resistor de resistência
. - Há um capacitor de capacitância
. - A chave fecha em
, ligando o conjunto; antes de o capacitor está descarregado (ou seja, a tensão inicial no capacitor é ). - Variáveis que usaremos: corrente
que percorre o circuito e tensão no capacitor .
Passo 2
Entendendo e definindo as grandezas elétricas básicas (aula rápida e sem pressa).
- A lei das malhas de Kirchhoff (KVL) diz que, num percurso fechado, a soma algébrica das quedas de tensão é igual à soma das forças eletromotrizes. Em palavras, somando os sinais corretos: tensão da fonte menos quedas em resistor e capacitor =
. - A queda de tensão no resistor é dada por lei de Ohm:
. Aqui é a corrente instantânea; tem unidades de ohm . - A tensão no capacitor relaciona-se com a carga
por . A corrente é a taxa de variação da carga: . Essa última é muito útil: corrente no capacitor é proporcional à derivada temporal da tensão no capacitor.
Esses são conceitos essenciais; se algo disso estiver estranho, respira fundo: a ideia é que o capacitor “acumula carga”, e a velocidade disso é medida por.
Passo 3
Aplicando a lei das malhas e montando a equação (sem pular passos).
Pelo KVL, percorrendo a malha começando na fonte:
Pelo KVL, percorrendo a malha começando na fonte:
Substitui-se
e
. Logo
Reorganizando:
Esta é a EDO de primeira ordem que descreve a evolução da tensão no capacitor após o fechamento da chave.
Passo 4
Colocando a EDO na forma padrão e identificando a constante de tempo.
Dividindo ambos os lados por obtém-se a forma padrão:
Dividindo ambos os lados por
Aqui aparece claramente o parâmetro
chamado de constante de tempo capacitiva. É a escala temporal natural do circuito RC. Em termos de
a equação fica
Interpretação física rápida da
: depois de um tempo da ordem de
, a tensão no capacitor já estará bem próxima do valor definitivo; mais precisamente, para carregamento a partir de
, em
tem-se
.
Passo 5
Resolvendo a EDO por método do fator integrante (passo a passo).
A EDO é linear de primeira ordem, da forma
A EDO é linear de primeira ordem, da forma
com
e
. O fator integrante é
Multiplicando a equação pela
:
O lado esquerdo é derivada do produto
. Então:
Integramos ambos os lados de
até
:
Calcule a integral do exponencial. Sabendo que
, obtemos
Simplificando:
Isolando
:
Essa é a solução geral para condições iniciais arbitrárias
.
Passo 6
Aplicando a condição inicial típica do problema e obtendo correntes (caso prático de prova).
Para o enunciado padrão "capacitor desligado antes e chave fecha em ", assume-se
. Substituindo:
Para o enunciado padrão "capacitor desligado antes e chave fecha em
A corrente
é
. Calculando a derivada:
Portanto
Observação física: no instante inicial
a corrente vale
(a resposta inicial é limitada pelo resistor porque o capacitor age como curto instantâneo a
); à medida que o capacitor carrega, a corrente decai exponencialmente para zero.
Passo 7
Interpretação da constante de tempo e dicas de prova (como usar
sem calculadora).
- A constante
tem unidades de tempo (segundos). Ela dá a escala de quanto tempo o circuito leva para evoluir: após a tensão no capacitor alcança do valor final . Após já está em cerca de do valor final; após está praticamente em . - Resultado resumido útil para provas: carregamento exponencial com solução do tipo constante final
termo transitório que decai como . Saber escrever a solução geral
é muitas vezes suficiente.
- Se a prova pede a corrente, lembrar
ou usar .
Resposta
(i")
(ii) com constante de tempo
.
(ii)