Leis de kirchhoff e Circuitos - Até certo ponto, qualquer problema de circuitos pode ser resolvido de forma sistemática, por meio de duas regras, conhecidas como leis de Kirchhoff. Nesse sentido, faça o que se pede:
Circuito RL, ao ser ligado a uma bateria: (i") EDO e condição inicial associados à lei das malhas e (ii) sua solução; evidenciar a constante de tempo indutiva.
Circuito RL, ao ser ligado a uma bateria: (i") EDO e condição inicial associados à lei das malhas e (ii) sua solução; evidenciar a constante de tempo indutiva.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dados (lista clara):
- Pede (i") escrever a EDO (equação diferencial ordinária) e a condição inicial obtidas aplicando a lei das malhas de Kirchhoff ao circuito RL quando a chave é fechada; e (ii) encontrar a solução da EDO, evidenciando a constante de tempo indutiva.
- Dados do circuito (situação padrão): uma fonte de tensão constante de valor
(bateria), uma resistência e uma indutância ligados em série. A chave é fechada no instante . - Quantidade incógnita: a corrente no circuito
para . - Informação física importante que serve como condição inicial: antes de fechar a chave o circuito estava desconectado, portanto a corrente na bobina é
. Como a corrente num indutor não muda de forma instantânea, a condição inicial imediatamente após o fechamento é (vou também mostrar a solução com condição inicial genérica por completude).
Passo 2
Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff (KVL) e modelando os elementos:
- Lembrete da lei: a soma algébrica das diferenças de potencial ao longo de uma malha fechada é zero.
- Voltagens dos elementos (convenções de sinais simples):
- Fonte: queda de
(ou tensão fornecida ). - Resistor: queda
. - Indutor: queda
. Aqui é a indutância e é a taxa de variação da corrente; a lei do indutor é .
- Fonte: queda de
- Escrevendo KVL no sentido do circuito:
- Substituindo as expressões:
- Organizando, obtemos a EDO buscada:
- Condição inicial (razão física): o indutor não permite salto instantâneo de corrente, então
(Observação: se a questão pedisse a forma geral, poderia usar
.)
Passo 3
Colocando a EDO na forma padrão e definindo a constante de tempo:
- Divido a EDO por
para normalizar o coeficiente da derivada: - Defino a constante de tempo indutiva (física e útil para interpretar a solução):
Assim , e a EDO fica - Interpretação rápida:
tem dimensão de tempo; ela controla a velocidade com que a corrente se aproxima do regime permanente.
Passo 4
Resolvendo a EDO por fator integrante (passo-a-passo, didático):
- A EDO é linear de primeira ordem. A técnica do fator integrante é simples e robusta.
- O fator integrante é
- Multiplico a EDO por
: - O lado esquerdo é a derivada do produto
: - Integro ambos os lados em
: - Calculo a integral do lado direito:
- Substituindo:
- Lembrando que
, simplifica . Reescrevo: - Isolando
: - Agora uso a condição inicial física
: - Para completar: solução geral com
é
Passo 5
Interpretação física da solução e evidência da constante de tempo:
- Regime permanente (quando
): , então Isso é óbvio fisicamente: depois de longo tempo o indutor se comporta como um curto-circuito de corrente contínua, sobrando apenas a queda no resistor. - Transiente exponencial: o termo
descreve a evolução do pulso transitório. A constante aparece explicitamente no expoente e determina a rapidez da subida da corrente. - Valores de referência úteis:
- Em
, a corrente atinge (ou ) de seu valor final. - Em
, já tem cerca de do valor final.
- Em
- Tensões nos elementos (útil para provas):
- Tensão no indutor:
Observação: no instante a tensão no indutor é (toda a tensão da fonte aparece no indutor inicialmente). - Tensão no resistor:
No instante tem , e no regime permanente .
- Tensão no indutor:
- Energia armazenada no indutor (às vezes pedem):
No regime permanente: .
Passo 6
Dicas práticas para a prova (resumão que sempre funciona):
- Passo 1: desenhar o circuito, definir sentidos (por exemplo corrente positiva no sentido do laço) e identificar polaridades de queda.
- Passo 2: aplicar KVL: escrever
. - Passo 3: dividir por
e identificar . - Passo 4: resolver por fator integrante ou lembrar a forma padrão da solução exponencial para circuitos RL:
para . - Lembre sempre que a corrente do indutor é contínua no instante do comutador; isso dá a condição inicial.
- Interprete fisicamente: inicialmente o indutor se opõe a variação de corrente, então sofre toda a tensão; com o tempo essa oposição some e a corrente atinge
.
Resposta
(i")
(ii) com
(constante de tempo indutiva).
(ii)