Leis de kirchhoff e Circuitos - Até certo ponto, qualquer problema de circuitos pode ser resolvido de forma sistemática, por meio de duas regras, conhecidas como leis de Kirchhoff. Nesse sentido, faça o que se pede:
Circuito RL, ao ser ligado a uma bateria: (i") EDO e condição inicial associados à lei das malhas e (ii) sua solução; evidenciar a constante de tempo indutiva.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dados (lista clara):
  • Pede (i") escrever a EDO (equação diferencial ordinária) e a condição inicial obtidas aplicando a lei das malhas de Kirchhoff ao circuito RL quando a chave é fechada; e (ii) encontrar a solução da EDO, evidenciando a constante de tempo indutiva.
  • Dados do circuito (situação padrão): uma fonte de tensão constante de valor \,E (bateria), uma resistência \,R>0 e uma indutância \,L>0 ligados em série. A chave é fechada no instante \,t=0.
  • Quantidade incógnita: a corrente no circuito \,i(t) para \,t\ge 0.
  • Informação física importante que serve como condição inicial: antes de fechar a chave o circuito estava desconectado, portanto a corrente na bobina é \,i(0^-)=0. Como a corrente num indutor não muda de forma instantânea, a condição inicial imediatamente após o fechamento é \,i(0)=0 (vou também mostrar a solução com condição inicial genérica \,i(0)=i_0 por completude).

Passo 2

Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff (KVL) e modelando os elementos:
  • Lembrete da lei: a soma algébrica das diferenças de potencial ao longo de uma malha fechada é zero.
  • Voltagens dos elementos (convenções de sinais simples):
    • Fonte: queda de \,E (ou tensão fornecida \,E).
    • Resistor: queda \,v_R(t)=R\,i(t).
    • Indutor: queda \,v_L(t)=L\,\dfrac{di}{dt}. Aqui \,L é a indutância e \,\dfrac{di}{dt} é a taxa de variação da corrente; a lei do indutor é \,v_L=L\,di/dt.
  • Escrevendo KVL no sentido do circuito: E - v_R(t) - v_L(t) = 0.
  • Substituindo as expressões: E - R\,i(t) - L\,\frac{di}{dt} = 0.
  • Organizando, obtemos a EDO buscada: L\,\frac{di}{dt} + R\,i(t) = E.
  • Condição inicial (razão física): o indutor não permite salto instantâneo de corrente, então i(0)=0.
(Observação: se a questão pedisse a forma geral, poderia usar i(0)=i_0.)

Passo 3

Colocando a EDO na forma padrão e definindo a constante de tempo:
  • Divido a EDO por \,L para normalizar o coeficiente da derivada: \frac{di}{dt} + \frac{R}{L}\,i(t) = \frac{E}{L}.
  • Defino a constante de tempo indutiva (física e útil para interpretar a solução): \tau \equiv \frac{L}{R}.Assim \,\dfrac{R}{L} = \dfrac{1}{\tau}, e a EDO fica \frac{di}{dt} + \frac{1}{\tau}\,i(t) = \frac{E}{L}.
  • Interpretação rápida: \tau tem dimensão de tempo; ela controla a velocidade com que a corrente se aproxima do regime permanente.

Passo 4

Resolvendo a EDO por fator integrante (passo-a-passo, didático):
  • A EDO é linear de primeira ordem. A técnica do fator integrante é simples e robusta.
  • O fator integrante é \mu(t)=\exp\!\bigg(\int \frac{R}{L}\,dt\bigg)=\exp\!\left(\frac{R}{L}\,t\right)=e^{t/\tau}.
  • Multiplico a EDO por \,\mu(t): e^{t/\tau}\,\frac{di}{dt} + \frac{R}{L}\,e^{t/\tau}\,i(t) = \frac{E}{L}\,e^{t/\tau}.
  • O lado esquerdo é a derivada do produto \,i(t)\,e^{t/\tau}: \frac{d}{dt}\Big(i(t)\,e^{t/\tau}\Big) = \frac{E}{L}\,e^{t/\tau}.
  • Integro ambos os lados em [0,t]: i(t)\,e^{t/\tau} - i(0)\,e^{0/\tau} = \frac{E}{L}\int_{0}^{t} e^{s/\tau}\,ds.
  • Calculo a integral do lado direito: \int_{0}^{t} e^{s/\tau}\,ds = \tau\big(e^{t/\tau}-1\big).
  • Substituindo: i(t)\,e^{t/\tau} - i(0) = \frac{E}{L}\,\tau\big(e^{t/\tau}-1\big).
  • Lembrando que \,\tau=L/R, simplifica \,\dfrac{E}{L}\tau = \dfrac{E}{R}. Reescrevo: i(t)\,e^{t/\tau} - i(0) = \frac{E}{R}\big(e^{t/\tau}-1\big).
  • Isolando \,i(t): i(t) = \frac{E}{R} + \Big(i(0)-\frac{E}{R}\Big)\,e^{-t/\tau}.
  • Agora uso a condição inicial física \,i(0)=0: i(t) = \frac{E}{R}\Big(1 - e^{-t/\tau}\Big).
  • Para completar: solução geral com i(0)=i_0 é i(t) = \frac{E}{R} + \Big(i_0-\frac{E}{R}\Big)\,e^{-t/\tau}.

Passo 5

Interpretação física da solução e evidência da constante de tempo:
  • Regime permanente (quando t\to\infty): \,e^{-t/\tau}\to 0, então i(\infty)=\frac{E}{R}.Isso é óbvio fisicamente: depois de longo tempo o indutor se comporta como um curto-circuito de corrente contínua, sobrando apenas a queda no resistor.
  • Transiente exponencial: o termo \,e^{-t/\tau} descreve a evolução do pulso transitório. A constante \,\tau=L/R aparece explicitamente no expoente e determina a rapidez da subida da corrente.
  • Valores de referência úteis:
    • Em t=\tau, a corrente atinge 1- e^{-1}\approx 0{,}632 (ou 63{,}2\%) de seu valor final.
    • Em t=3\tau, já tem cerca de 95\% do valor final.
  • Tensões nos elementos (útil para provas):
    • Tensão no indutor: v_L(t)=L\,\frac{di}{dt} = L\cdot\frac{E}{L}\,e^{-t/\tau} = E\,e^{-t/\tau}.Observação: no instante \,t=0^+ a tensão no indutor é \,v_L(0)=E (toda a tensão da fonte aparece no indutor inicialmente).
    • Tensão no resistor: v_R(t)=R\,i(t)=E\Big(1-e^{-t/\tau}\Big).No instante \,t=0^+ tem \,v_R(0)=0, e no regime permanente \,v_R(\infty)=E.
  • Energia armazenada no indutor (às vezes pedem): w(t)=\frac{1}{2}L\,i^2(t).No regime permanente: w(\infty)=\dfrac{1}{2}L\left(\dfrac{E}{R}\right)^2.

Passo 6

Dicas práticas para a prova (resumão que sempre funciona):
  • Passo 1: desenhar o circuito, definir sentidos (por exemplo corrente positiva no sentido do laço) e identificar polaridades de queda.
  • Passo 2: aplicar KVL: escrever E - R i - L\,di/dt = 0.
  • Passo 3: dividir por L e identificar \tau=L/R.
  • Passo 4: resolver por fator integrante ou lembrar a forma padrão da solução exponencial para circuitos RL: i(t)=\frac{E}{R}\Big(1-e^{-t/\tau}\Big)para i(0)=0.
  • Lembre sempre que a corrente do indutor é contínua no instante do comutador; isso dá a condição inicial.
  • Interprete fisicamente: inicialmente o indutor se opõe a variação de corrente, então sofre toda a tensão; com o tempo essa oposição some e a corrente atinge E/R.

Resposta

(i") \;L\,\dfrac{di}{dt}+R\,i(t)=E,\qquad i(0)=0.
(ii) \;i(t)=\dfrac{E}{R}\Big(1-e^{-t/\tau}\Big) com \;\tau=\dfrac{L}{R} (constante de tempo indutiva).

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