Para um observador na Terra, a frequência da luz emitida por uma estrela é deslocada do azul em
, ou seja,
.
(a) Indique se a estrela está se afastando ou se paroximando da Terra;
(b) Determine a velocidade da estrela em relação à Terra.
(a) Indique se a estrela está se afastando ou se paroximando da Terra;
(b) Determine a velocidade da estrela em relação à Terra.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Dado: a frequência observada da luz é deslocada para o azul em 1%, isto é,
. Vou entender aqui que é a frequência emitida pela estrela (frequência no referencial da estrela) e é a frequência medida na Terra. - Perguntas:
(a) Indicar se a estrela está se afastando ou se aproximando da Terra.
(b) Determinar a velocidade da estrela em relação à Terra.
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicadinha e sem mistério):
- Quando uma fonte de luz se move radialmente em relação a um observador, a frequência da luz sofre deslocamento Doppler relativístico. A fórmula correta para luz (ou seja, para sinais que se propagam à velocidade
) é
onde:
-
é a frequência emitida (aqui ), -
é a frequência observada, -
é a velocidade radial da estrela dividida pela velocidade da luz , - a convenção usada aqui é:
quando a estrela se aproxima do observador (isso gera blueshift, aumento da frequência), e quando a estrela se afasta (redshift, diminuição da frequência). - Explicação rápida do porquê: a fórmula vem da combinação da transformação de Lorentz para tempo e do fato de que a frequência é o inverso do período; não precisa decorar, basta saber que é a relação relativística correta. Para velocidades pequenas (
) a fórmula se aproxima de .
Passo 3
Aplicando a fórmula ao dado numérico e resolvendo para
:
- Substituindo
na fórmula:
- Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
- Denotando
(vai ajudar nas contas), temos . Então
- Isolando
:
Logo
Passo 4
Calculando numericamente
e convertendo para velocidade:
- Primeiro a fração:
- Agora a velocidade
. Usando para cálculo rápido:
- Convertendo para km/s:
Passo 5
Interpretação física clara e checagem por aproximação:
- Como
(a frequência observada é maior), isso é um blueshift — portanto a estrela está se aproximando da Terra. - Checagem rápida pela aproximação não-relativística:
dá , valor muito próximo do cálculo relativístico acima; portanto o resultado faz sentido e a correção relativística é pequena para esse deslocamento de 1%.
Resposta
(a) A estrela está se aproximando da Terra.
(b)
(b)