Para um observador na Terra, a frequência da luz emitida por uma estrela é deslocada do azul em 1 \%, ou seja, \nu_{o b s}=1,01 \nu_{a z u l}.
(a) Indique se a estrela está se afastando ou se paroximando da Terra;
(b) Determine a velocidade da estrela em relação à Terra.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dado: a frequência observada da luz é deslocada para o azul em 1%, isto é, \nu_{\text{obs}}=1,01\,\nu_{\text{azul}}. Vou entender aqui que \nu_{\text{azul}} é a frequência emitida pela estrela (frequência no referencial da estrela) e \nu_{\text{obs}} é a frequência medida na Terra.
  • Perguntas:
    (a) Indicar se a estrela está se afastando ou se aproximando da Terra.
    (b) Determinar a velocidade da estrela em relação à Terra.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicadinha e sem mistério):
  • Quando uma fonte de luz se move radialmente em relação a um observador, a frequência da luz sofre deslocamento Doppler relativístico. A fórmula correta para luz (ou seja, para sinais que se propagam à velocidade c) é
\nu_{\text{obs}}=\nu_{\text{emit}}\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}},
onde:
  • \nu_{\text{emit}} é a frequência emitida (aqui \nu_{\text{azul}}),
  • \nu_{\text{obs}} é a frequência observada,
  • \beta=\dfrac{v}{c} é a velocidade radial da estrela dividida pela velocidade da luz c,
  • a convenção usada aqui é: \beta>0 quando a estrela se aproxima do observador (isso gera blueshift, aumento da frequência), e \beta<0 quando a estrela se afasta (redshift, diminuição da frequência).
  • Explicação rápida do porquê: a fórmula vem da combinação da transformação de Lorentz para tempo e do fato de que a frequência é o inverso do período; não precisa decorar, basta saber que é a relação relativística correta. Para velocidades pequenas ( |v|\ll c) a fórmula se aproxima de \dfrac{\Delta\nu}{\nu}\approx \dfrac{v}{c}.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao dado numérico e resolvendo para \beta:
  • Substituindo \nu_{\text{obs}}=1,01\,\nu_{\text{emit}} na fórmula:
1,01=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}.
  • Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
(1,01)^2=\frac{1+\beta}{1-\beta}.
  • Denotando r=(1,01)^2 (vai ajudar nas contas), temos r=1,0201. Então
1+\beta = r(1-\beta).
  • Isolando \beta:
1+\beta = r - r\beta \quad\Rightarrow\quad \beta + r\beta = r-1 \quad\Rightarrow\quad \beta(1+r)=r-1.
Logo
\beta=\frac{r-1}{r+1}=\frac{1,0201-1}{1,0201+1}=\frac{0,0201}{2,0201}.

Passo 4

Calculando numericamente \beta e convertendo para velocidade:
  • Primeiro a fração:
\beta=\frac{0,0201}{2,0201}\approx 0,0099505\quad(\text{aprox.})
  • Agora a velocidade v=\beta c. Usando c\approx 3,00\times10^{8}\,\mathrm{m/s} para cálculo rápido:
v\approx 0,0099505\times 3,00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}\approx 2,98\times10^{6}\,\mathrm{m/s}.
  • Convertendo para km/s:
v\approx 2,98\times10^{3}\,\mathrm{km/s}\approx 2980\,\mathrm{km/s}.

Passo 5

Interpretação física clara e checagem por aproximação:
  • Como \nu_{\text{obs}}>\nu_{\text{emit}} (a frequência observada é maior), isso é um blueshift — portanto a estrela está se aproximando da Terra.
  • Checagem rápida pela aproximação não-relativística: \dfrac{\Delta\nu}{\nu}\approx \dfrac{v}{c} v\approx 0,01\,c\approx 3,0\times10^{6}\,\mathrm{m/s}, valor muito próximo do cálculo relativístico acima; portanto o resultado faz sentido e a correção relativística é pequena para esse deslocamento de 1%.

Resposta

(a) A estrela está se aproximando da Terra.
(b) v\approx 2,98\times10^{6}\,\mathrm{m/s}\approx 2,98\times10^{3}\,\mathrm{km/s}

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