9- Que leis da natureza estão incorporadas nas equações de transferência convectivo?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Que leis da natureza estão incorporadas nas equações de transferência convectivo?”
Informações dadas: a pergunta é conceitual — quer que identifiquemos as leis físicas fundamentais que estão embutidas nas equações que descrevem transporte convectivo (transporte por advecção + difusão, de quantidade como massa, momento, energia ou espécie). Nada mais foi dado, portanto devemos listar e explicar essas leis e como elas aparecem nas equações.
Informações dadas: a pergunta é conceitual — quer que identifiquemos as leis físicas fundamentais que estão embutidas nas equações que descrevem transporte convectivo (transporte por advecção + difusão, de quantidade como massa, momento, energia ou espécie). Nada mais foi dado, portanto devemos listar e explicar essas leis e como elas aparecem nas equações.
Passo 2
Primeiro, contexto rápido e uma definição útil (para você decorar e usar na prova): as equações de transferência convectivo descrevem como uma quantidade conservada (por exemplo massa, momento, energia, concentração) é transportada por movimento do fluido (advecção) e por processos difusivos (condução, difusão molecular), além de fontes ou sumidouros. Uma ferramenta matemática que aparece sempre é a derivada material (ou substancial), que mede a variação de uma grandeza seguindo uma partícula do fluido:
Expliquei isso porque muitas leis aparecem usando essa derivada — ela combina a variação local no tempo e o transporte espacial pela velocidade
.
Passo 3
Lei 1 — Conservação da massa (equação da continuidade).
O que significa: massa não é criada nem destruída (exceto em processos relativísticos ou reações nucleares, que não interessam aqui). Em forma diferencial a equação geral é
O que significa: massa não é criada nem destruída (exceto em processos relativísticos ou reações nucleares, que não interessam aqui). Em forma diferencial a equação geral é
onde
é a densidade e
é o campo de velocidade.
Interpretação palavra a palavra: a taxa de variação local da massa ( ) mais o fluxo divergente de massa (
) é zero.
Caso simples importante (muito usado em prova): fluido incompressível de densidade constante const. Então a equação reduz a
Interpretação palavra a palavra: a taxa de variação local da massa (
Caso simples importante (muito usado em prova): fluido incompressível de densidade constante
ou seja, o campo de velocidade é solenoidal (nenhum “acúmulo” local de volume). Memoriza isso: continuidade →
ou para incompressível
.
Passo 4
Lei 2 — Conservação do momento (segunda lei de Newton para fluidos → equações de Navier–Stokes).
O que significa: a massa vezes aceleração igual à soma das forças (pressão, viscosas, gravitacionais, etc.). Em forma diferencial:
O que significa: a massa vezes aceleração igual à soma das forças (pressão, viscosas, gravitacionais, etc.). Em forma diferencial:
onde
é a pressão,
é o tensor de tensões viscosas,
é a aceleração da gravidade e
são outras forças de corpo (por ex. forças elétricas).
Para um fluido Newtoniano comum, o tensor viscoso costuma ser escrito como
Para um fluido Newtoniano comum, o tensor viscoso costuma ser escrito como
onde
é a viscosidade dinâmica. Essa é a lei constitutiva da viscosidade (Lei de Newton para fluidos viscosos).
Resumo prático para prova: momentum → Navier–Stokes; contém termo convectivo quando você expandir
.
Resumo prático para prova: momentum → Navier–Stokes; contém termo convectivo
Passo 5
Lei 3 — Conservação de energia (primeira lei da termodinâmica).
O que significa: energia é conservada (variação da energia interna + energia cinética = trabalho + transferência de calor + dissipação). Uma forma comum (equação da energia interna) é
O que significa: energia é conservada (variação da energia interna + energia cinética = trabalho + transferência de calor + dissipação). Uma forma comum (equação da energia interna) é
onde
é a energia interna por massa,
é a temperatura,
é a condutividade térmica,
representa a dissipação viscosa e
são fontes volumétricas de calor. A transferência de calor por condução é dada pela Lei de Fourier:
Na prática, a equação de energia liga temperatura, pressão, velocidade e propriedades materiais — fundamental para problemas convectivos de calor.
Passo 6
Lei 4 — Conservação de espécie (masse ou concentração de um componente químico).
O que significa: para cada espécie química (ou um escalar passivo como concentração), a massa daquela espécie é conservada, exceto por reações químicas. Em forma conservativa:
O que significa: para cada espécie química (ou um escalar passivo como concentração), a massa daquela espécie é conservada, exceto por reações químicas. Em forma conservativa:
onde
é a fração mássica da espécie
,
é o fluxo difusivo (por ex. dado pela Lei de Fick) e
é a taxa de produção por reação. A Lei de Fick simples diz
com
coeficiente de difusão. Isso gera a clássica equação de convecção–difusão para uma quantidade escalar.
Passo 7
Constitutivas e leis termodinâmicas associadas (fechamento das equações).
As leis fundamentais acima dão equações com termos que dependem de propriedades do material; precisamos de leis constitutivas para fechar o sistema. As importantes são:
As leis fundamentais acima dão equações com termos que dependem de propriedades do material; precisamos de leis constitutivas para fechar o sistema. As importantes são:
- Lei de Newton para viscosidade (explicada no passo 4): relaciona tensões viscosas e gradientes de velocidade, com
(viscosidade). - Lei de Fourier para condução de calor (passo 5):
, com . - Lei de Fick para difusão de espécies (passo 6):
, com . - Equação de estado (por ex. gás ideal) para relacionar
:
quando aplicável.
Além disso, a Segunda Lei da Termodinâmica impõe restrições como positividade da produção de entropia — na prática isso garante que ,
,
(os coeficientes dissipativos são positivos).
Além disso, a Segunda Lei da Termodinâmica impõe restrições como positividade da produção de entropia — na prática isso garante que
Passo 8
Como essas leis aparecem nas equações de “transferência convectivo” de forma concreta? Um exemplo simples muito usado em prova: a equação de convecção–difusão para um escalar
com densidade constante e propriedades constantes:
onde
é o termo convectivo (advecção pela velocidade),
é o termo difusivo (Fick/Fourier tipo) e
é fonte. Essa equação resulta diretamente da conservação da quantidade escalar combinada com a constituição difusiva. Na prova, reconheça rapidamente que essa equação incorpora:
- conservação (continuidade da quantidade),
- transporte convectivo (advecção),
- transporte difusivo (Fick/Fourier),
- fontes/reações.
Passo 9
Observações práticas para a prova (dicas amiguinhas):
- Se te pedirem “quais leis”, responda listando: conservação da massa, conservação do momento, conservação de energia, conservação de espécie (quando aplicável), e as leis constitutivas (Fourier, Fick, Newton) mais a equação de estado.
- Se aparecerem nomes como “Navier–Stokes”, “equação de continuidade”, “equação de energia”, já associe cada um a uma lei física (massa, momento, energia).
- Lembre-se: a Segunda Lei aparece como condição sobre os coeficientes (positividade) e na forma de dissipação (termos como
em energia).
Resposta
Lei da conservação da massa — equação da continuidade:
.
Lei da conservação do momento — equações de Navier–Stokes: (com lei constitutiva de viscosidade de Newton).
Lei da conservação da energia — primeira lei da termodinâmica (equação da energia), com Lei de Fourier: e
.
Lei da conservação de espécies (massa de cada componente) — equação convecção–difusão: com Lei de Fick
.
Leis constitutivas e termodinâmicas e equação de estado (por ex. ) que fecham o sistema; Segunda Lei da Termodinâmica impõe positividades (
).
Lei da conservação do momento — equações de Navier–Stokes:
Lei da conservação da energia — primeira lei da termodinâmica (equação da energia), com Lei de Fourier:
Lei da conservação de espécies (massa de cada componente) — equação convecção–difusão:
Leis constitutivas e termodinâmicas e equação de estado (por ex.