Uma fábrica possuí dois motores de 7,5 \mathrm{CV} FP 0,83 , e mais 3 motores de 15 CV FP 0,8 . Todos ligados em 220 trabalhando ao mesmo tempo. Faça o dimensionamento do quadro de força para esses motores sabendo que o quadro de força ficará à uma distância de 103 metros dos motores.

Passo 1

Dados fornecidos e o que a questão pede, sem resolver ainda.
  • Dados do enunciado:
    • Dois motores de \;7{,}5\\ \mathrm{CV} com fator de potência \mathrm{FP}=0{,}83.
    • Três motores de \;15\\ \mathrm{CV} com fator de potência \mathrm{FP}=0{,}80.
    • Todos ligados em \;220\\ \mathrm{V} e funcionando simultaneamente.
    • Distância do quadro aos motores: \;103\\ \mathrm{m}.
  • O que pedem (interpretação de “dimensionamento do quadro de força”):
    • Calcular a corrente total que alimenta o conjunto de motores.
    • Dimensionar a seção do condutor (cabo) do quadro até os motores considerando a queda de tensão admissível.
    • Sugerir capacidade do disjuntor/ seccionador geral do quadro e indicar correntes individuais para dimensionar contatores/relés de sobrecarga para cada motor.
    • Veremos também a queda de tensão obtida com a seção escolhida para checar se está dentro do limite (adianto: usarei 4% como limite máximo recomendado).
Observação: o enunciado não informa eficiências elétricas ( \eta) dos motores. Para não subestimar a corrente, vou assumir eficiências típicas de motores industriais (explico e justifico no próximo passo). Não vou pedir nada a mais — sigo as suposições práticas para resolver.

Passo 2

Conversão de unidades e escolha de suposições práticas (eficiências). Explico por quê e dou os valores escolhidos.
  • Conversão de potência de \mathrm{CV} para \mathrm{W}:
    • Regra prática usada aqui: \;1\\ \mathrm{CV}=736\\ \mathrm{W}.
    • Isso significa, por exemplo, que \;7{,}5\\ \mathrm{CV}=7{,}5\cdot736=5520\\ \mathrm{W}.
  • Eficiência ( \eta) dos motores:
    • O enunciado não dá \eta. Se não considerarmos \eta estaremos assumindo que a potência mecânica é igual à potência elétrica absorvida (o que subestima a corrente real). Para sermos realistas, assumimos eficiências típicas:
      • Para \;7{,}5\\ \mathrm{CV} uso \eta_{7{,}5}=0{,}85 (85%).
      • Para \;15\\ \mathrm{CV} uso \eta_{15}=0{,}88 (88%).
    • Justificativa: motores médios têm \eta na faixa 80\% \div 92\%; escolhi valores conservadores e típicos para não subestimar corrente.
Essas suposições serão explícitas nas contas; se você tiver dados reais dos motores (placa), substituiríamos \eta por esses valores.

Passo 3

Calcular potências elétricas ativas (potência de entrada) de cada grupo de motores.
  • Para cada motor: potência mecânica em W
    • \;P_{\text{mec, 7{,}5}}=7{,}5\cdot736=5520\\ \mathrm{W}.
    • \;P_{\text{mec, 15}}=15\cdot736=11040\\ \mathrm{W}.
  • Potência elétrica absorvida por motor (contando eficiência): \;P_{\text{el}}=\dfrac{P_{\text{mec}}}{\eta}.
    • Potência total dos dois motores de 7{,}5\\ \mathrm{CV}: P_{\text{el,7{,}5,total}}=2\cdot\frac{5520}{0{,}85}=2\cdot6494{,}1176=12988{,}235\\ \mathrm{W}.
    • Potência total dos três motores de 15\\ \mathrm{CV}: P_{\text{el,15,total}}=3\cdot\frac{11040}{0{,}88}=3\cdot12545{,}4545=37636{,}3636\\ \mathrm{W}.
    • Potência ativa total do conjunto: P_{\text{total}}=12988{,}235+37636{,}3636=50624{,}5986\\ \mathrm{W}\approx50{,}6246\\ \mathrm{kW}.
Explicando a fórmula: \;P_{\text{el}} é a potência elétrica que entra no motor; como parte vira calor/perdas, \;P_{\text{el}}=P_{\text{mec}}/\eta. Aqui somei os motores iguais por grupo para simplificar.

Passo 4

Calcular a potência aparente ( S, em VA) de cada grupo usando o fator de potência e somar para obter a potência aparente total.
  • Relação entre potência ativa P, potência aparente S e fator de potência \cos\varphi (aqui dado como FP):
    S=\frac{P}{\cos\varphi}.
    Explicação: P é a potência ativa (W), \cos\varphi é o fator de potência (parte ativa do fluxo), e S (VA) é a potência aparente que define a corrente que precisa ser fornecida.
  • Cálculos por grupo:
    • Grupo 7{,}5\\ \mathrm{CV} ( \mathrm{FP}=0{,}83): S_{7{,}5}=\frac{12988{,}235}{0{,}83}=15653{,}4518\\ \mathrm{VA}.
    • Grupo 15\\ \mathrm{CV} ( \mathrm{FP}=0{,}80): S_{15}=\frac{37636{,}3636}{0{,}80}=47045{,}4545\\ \mathrm{VA}.
    • Potência aparente total: S_{\text{total}}=15653{,}4518+47045{,}4545=62698{,}9063\\ \mathrm{VA}\approx62{,}699\\ \mathrm{kVA}.
Explicação didática: a rede precisa fornecer a potência aparente S; mesmo que a máquina só converta P em trabalho, a corrente é determinada por S. Por isso o fator de potência importa.

Passo 5

Calcular a corrente total em regime permanente (assumindo sistema trifásico em \;220\\ \mathrm{V}).
  • Justificativa da hipótese trifásica: instalações industriais com vários motores geralmente são trifásicas; além disso, em trifásico a tensão nominal informada costuma ser \;220\\ \mathrm{V} (tensão entre fases). Vou usar a fórmula trifásica padrão.
  • Fórmula para corrente em sistema trifásico:
    I=\frac{S}{\sqrt{3}\,V},
    onde
    • I é corrente de linha (A),
    • S é potência aparente total (VA),
    • V é tensão entre fases (V),
    • \sqrt{3} é aproximadamente 1{,}732.
  • Aplicando:
    I=\frac{62698{,}9063}{\sqrt{3}\cdot220}=\frac{62698{,}9063}{1{,}73205\cdot220}=\frac{62698{,}9063}{381{,}051}=164{,}55\\ \mathrm{A}.
Interpretação: o quadro precisa fornecer cerca de \;164{,}6\\ \mathrm{A} contínuos quando todos os motores estiverem em plena carga.

Passo 6

Dimensionamento da seção do condutor com base na queda de tensão (método e fórmula usadas) e cálculo numérico.
  • Critério adotado: limitar a queda de tensão entre quadro e motores a no máximo 4\% da tensão nominal (prática comum em projetos de baixa tensão). Isso dá:
    \Delta V_{\max}=0{,}04\cdot220=8{,}8\\ \mathrm{V}.
  • Fórmula aproximada de queda de tensão para circuito trifásico (considerando apenas resistência do cabo e usando o fator de potência global):
    \Delta V=\sqrt{3}\,I\left(\frac{\rho L}{S_{\text{cabo}}}\right)\cos\varphi,
    onde
    • \rho é a resistividade do condutor em \Omega\cdot\mathrm{mm}^2/\mathrm{m} (para cobre \rho\approx0{,}01724\\ \Omega\cdot\mathrm{mm}^2/\mathrm{m}),
    • L comprimento do cabo (m) contado de uma fase (aqui 103\\ \mathrm{m}),
    • S_{\text{cabo}} é a seção em \mathrm{mm}^2,
    • \cos\varphi é o fator de potência total do conjunto.
    Observação didática: a fórmula completa inclui também a reatância do cabo ( X) com termo em \sin\varphi. Aqui usamos aproximação comum (cabo com baixa reatância relativa) e incluímos \cos\varphi para contabilizar a componente ativa da queda. Esta aproximação é prática e costuma dar um dimensionamento conservador quando combinada com escolha de seção ligeiramente acima do calculado.
  • Primeiro calculamos o fator de potência total do conjunto:
    \cos\varphi_{\text{total}}=\frac{P_{\text{total}}}{S_{\text{total}}}=\frac{50624{,}5986}{62698{,}9063}=0{,}8076\\ (\approx0{,}808).
  • Resolver para S_{\text{cabo}}:
    S_{\text{cabo}}=\frac{\sqrt{3}\,\rho L\,I\,\cos\varphi}{\Delta V_{\max}}.
  • Substituindo valores:
    • \rho=0{,}01724\\ \Omega\cdot\mathrm{mm}^2/\mathrm{m},
    • L=103\\ \mathrm{m},
    • I=164{,}55\\ \mathrm{A},
    • \cos\varphi=0{,}8076,
    • \Delta V_{\max}=8{,}8\\ \mathrm{V}.
    Cálculo (mostrando etapas):
    \rho L=0{,}01724\cdot103=1{,}77572\\ \Omega\cdot\mathrm{mm}^2,
\sqrt{3}\,\rho L=1{,}73205\cdot1{,}77572=3{,}07319\\ \Omega\cdot\mathrm{mm}^2,
I\cos\varphi=164{,}55\cdot0{,}8076=132{,}92\\ \mathrm{A},
\text{numerador}=3{,}07319\cdot132{,}92=408{,}24,
S_{\text{cabo}}=\frac{408{,}24}{8{,}8}=46{,}39\\ \mathrm{mm}^2\\ (\text{aprox.}).
  • Escolha prática: adotar a seção comercial imediatamente superior padrão para cabo de cobre. Portanto escolhemos \;50\\ \mathrm{mm}^2 (cobre, 3 fases + 1 neutro se necessário).
  • Verificação rápida da queda de tensão com 50\\ \mathrm{mm}^2:
    \Delta V=\frac{\sqrt{3}\,I\,\rho L\,\cos\varphi}{50}=\frac{408{,}24}{50}=8{,}1648\\ \mathrm{V},
    que representa \displaystyle\frac{8{,}1648}{220}=0{,}0371\equiv3{,}71\%, dentro do limite de 4\%.
Comentário didático: assim chegamos a uma seção prática ( 50\\ \mathrm{mm}^2) que atende à queda de tensão e, tipicamente, também atende à capacidade de corrente do cabo (cargas industriais: cabos de cobre desta seção costumam suportar muito acima de 164\\ \mathrm{A}, dependendo da instalação; sempre confirmar tabela do fabricante/NBR para proteção térmica e agrupamentos).

Passo 7

Correntes individuais dos motores (para dimensionar contatores e relés de sobrecarga).
  • Fórmula por motor (trifásico):
    I_{\text{motor}}=\frac{S_{\text{motor}}}{\sqrt{3}\,V}=\frac{P_{\text{el,motor}}}{\sqrt{3}\,V\cos\varphi_{\text{motor}}}.
  • Para cada motor \;7{,}5\\ \mathrm{CV} (usar \eta_{7{,}5}=0{,}85 e \cos\varphi=0{,}83):
    P_{\text{el,7{,}5}}=\frac{5520}{0{,}85}=6494{,}1176\\ \mathrm{W},
S_{\text{7{,}5}}=\frac{6494{,}1176}{0{,}83}=7824{,}05\\ \mathrm{VA},
I_{\text{7{,}5}}=\frac{7824{,}05}{\sqrt{3}\cdot220}= \frac{7824{,}05}{381{,}051}=20{,}53\\ \mathrm{A}.
  • Para cada motor \;15\\ \mathrm{CV} (usar \eta_{15}=0{,}88 e \cos\varphi=0{,}80): P_{\text{el,15}}=\frac{11040}{0{,}88}=12545{,}4545\\ \mathrm{W},
S_{\text{15}}=\frac{12545{,}4545}{0{,}80}=15681{,}8182\\ \mathrm{VA},
I_{\text{15}}=\frac{15681{,}8182}{\sqrt{3}\cdot220}=\frac{15681{,}8182}{381{,}051}=41{,}15\\ \mathrm{A}.
  • Checagem da soma: 2\cdot20{,}53+3\cdot41{,}15=41{,}06+123{,}45=164{,}51\\ \mathrm{A},coerente com a corrente total calculada ( 164{,}55\\ \mathrm{A} com arredondamentos).
Comentário prático: para os relés térmicos/ajuste de sobrecarga, ajuste-se o valor de corrente de acordo com a corrente nominal do motor (por ex. ajuste do relé para \approx20{,}5\\ \mathrm{A} para os de 7{,}5\\ \mathrm{CV} e \approx41{,}1\\ \mathrm{A} para os de 15\\ \mathrm{CV}). Já o contatoor deve ser escolhido com capacidade de corrente de comutação e inrush do motor (normalmente usa-se contatores com capacidade superior à corrente nominal, por ex. contatores de 25 A para 7{,}5\\ \mathrm{CV} e 50 A para 15\\ \mathrm{CV}, verificar catálogo do fabricante).

Passo 8

Recomendações finais práticas e observações de projeto (o que incluir no quadro).
  • Cabo alimentador (quadro → motores): sugerido cabo de cobre \;50\\ \mathrm{mm}^2 (3 fases + condutor neutro/terra conforme necessidade), comprimento 103\\ \mathrm{m}.
    • Justificativa: atende a queda de tensão \;3{,}71\% (< 4\%) e suporta a corrente calculada.
    • Confirmar em obra: escolher tipo de cabo (isolação, agrupamento, temperatura ambiente) e verificar tabela do fabricante/NBR para capacidade de corrente real conforme condições de instalação (enterrado, duto, agrupamento, etc.). Essas condições podem exigir aumento de seção por aquecimento.
  • Disjuntor/Seccionador geral do quadro:
    • Corrente contínua calculada: \;I_{\text{total}}\approx164{,}6\\ \mathrm{A}.
    • Sugestão prática: usar um disjuntor termomagnético ou MCCB com capacidade nominal comercial acima da corrente calculada e proteção ajustável; por exemplo, escolher um disjuntor nominal de \;200\\ \mathrm{A} com curva e ajuste que proteja contra curto-circuito e permita partida dos motores (ou usar proteções seletivas com partida direta/soft-starter). A escolha exata depende de critérios de coordenação e partida (partida direta gera correntes de partida elevadas; normalmente usa-se contatoores com temporizador, soft-starter ou chave partida).
  • Proteções por motor:
    • Cada motor com seu contatoor e relé térmico ajustado para a corrente nominal calculada:
      • Relés para motores 7{,}5\\ \mathrm{CV}: ajuste em \approx20{,}5\\ \mathrm{A}.
      • Relés para motores 15\\ \mathrm{CV}: ajuste em \approx41{,}1\\ \mathrm{A}.
    • Fusíveis/Disjuntores de proteção imediata (curto) dimensionados considerando a inrush do motor (consultar tabela do fabricante) e normas locais.
  • Observações finais importantes:
    • Todos os valores aqui calculados usam suposições de eficiência e aproximações na queda de tensão (sem considerar reatância do cabo detalhadamente). Em projeto final, substituir eficiências pelas da placa do motor, usar tabela de cabos/NBR para corrente admissível segundo tipo de instalação, e checar coordenação de proteção e seletividade.
    • Se quiser, eu posso refazer o dimensionamento usando eficiências/valores de tabela que você trouxer (placa dos motores ou condições de instalação).

Resposta

Corrente total aproximada: 164{,}55\\ \mathrm{A}.
Seção do cabo sugerida (alimentador 103 m): 50\\ \mathrm{mm}^2 (cobre) — queda de tensão calculada \approx8{,}165\\ \mathrm{V} ( 3{,}71\% em 220\\ \mathrm{V}).
Disjuntor/Seccionador geral sugerido: 200\\ \mathrm{A} (MCCB) — verificar coordenação e tipo conforme partida dos motores.
Corrente por motor (para dimensionar contatoor/relé térmico): \;I_{7{,}5}\approx20{,}53\\ \mathrm{A} (cada motor 7{,}5\\ \mathrm{CV}); \;I_{15}\approx41{,}15\\ \mathrm{A} (cada motor 15\\ \mathrm{CV}).

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