Para uma leitura de manômetro em A igual a - 17237Pa, determine:
a) A altura de elevação dos líquidos manométricos nas colunas piezométricas que se encontram abertas, E, F e G. (Sol.: 12,42m, 12,17m, 10,58m).
b) A deflexão do mercúrio no manômetro em U. (Sol.: 0,57m).

Passo 1

O enunciado diz que a leitura do manômetro em A é -17237\\ \text{Pa} (isto é, a pressão no ponto A dentro do reservatório é 17237\\ \text{Pa} abaixo da pressão atmosférica). A figura mostra um reservatório com camadas de fluidos e alturas/elevações indicadas. Vou listar as informações relevantes que peguei da figura (uso todas estas alturas como elevações em relação a um mesmo datum vertical):
  • Pressão no ponto A: p_A = p_{atm} - 17237\\ \text{Pa}. (Dado do enunciado.)
  • Elevação do topo (ponto onde o manômetro A está ligado): \;z_A = 19{,}81\\ \text{m}. (Peguei da imagem.)
  • Elevação da interface ar / líquido leve (ponto K) : \;z_{K}=14{,}94\\ \text{m}. (Peguei da imagem.)
  • Elevação da interface líquido leve / água (ponto O) : \;z_{O}=11{,}58\\ \text{m}. (Peguei da imagem.)
  • Elevação da interface água / líquido pesado (ponto R) : \;z_{R}=7{,}93\\ \text{m}. (Peguei da imagem.)
  • Elevação do fundo (ponto B) : \;z_{B}=6{,}10\\ \text{m}. (Peguei da imagem.)
  • Densidades (especificadas na figura por “d”):
    • líquido leve: d_1 = 0{,}70 (tomarei \rho_1 = 0{,}70\cdot 1000 = 700\\ \text{kg·m}^{-3}). (Peguei da imagem.)
    • água: \rho_2 = 1000\\ \text{kg·m}^{-3}. (valor padrão)
    • líquido pesado: d_3 = 1{,}60 (tomarei \rho_3 = 1{,}60\cdot 1000 = 1600\\ \text{kg·m}^{-3}). (Peguei da imagem.)
  • A gravidade: g = 9{,}81\\ \text{m·s}^{-2}. (valor padrão)
  • Manômetro em U com mercúrio para a deflexão: tomo densidade do mercúrio \rho_{Hg}=13600\\ \text{kg·m}^{-3} (valor padrão; vou explicitar isto quando usado). (Não constava explicitamente na figura; usei valor padrão.)
O que o problema pede:
a) Determinar as alturas de elevação dos líquidos nas colunas piezométricas abertas E,\;F,\;G (ou seja, as alturas das superfícies livres nessas colunas, em relação ao mesmo datum).
b) Determinar a deflexão do mercúrio no manômetro em U (denotarei esta deflexão por h_1).

Passo 2

Revisão do conceito que vamos usar (mini-aula rápida e necessária): Lei da hidroestática (pressão em fluido em equilíbrio)
  • A pressão varia com a profundidade segundo a relação
p(z_2)=p(z_1)+\rho g (z_1-z_2),
onde z_1,z_2 são elevações verticais (se z_2<z_1 a pressão aumenta descendo), \rho é a densidade do fluido no trecho, e g a gravidade.
  • Para uma coluna piezométrica aberta a um fluido de densidade \rho: se a pressão no ponto de conexão (no interior do reservatório) é p_{conn} e a elevação desse ponto é z_{conn}, então a altura da superfície livre h_{col} (elevação absoluta) dessa coluna satisfaz
p_{conn} = p_{atm} + \rho g \bigl(h_{col}-z_{conn}\bigr),
ou rearranjando,
h_{col}= z_{conn} + \frac{p_{conn}-p_{atm}}{\rho g}.
Isto significa: a diferença entre a superfície livre da coluna e o ponto de conexão é a conversão da diferença de pressão em coluna de fluido da densidade da coluna.
Observação prática: se a coluna é preenchida com o mesmo fluido que está no ponto de conexão, \rho é a densidade desse fluido. Se há camadas entre A e o ponto de conexão, calcula-se primeiro p_{conn} a partir de p_A aplicando a lei da hidroestática camada a camada.

Passo 3

Aplicação ao ponto K (conexão da coluna E): determinação de p_{K}.
  • O ponto K (interface ar / líquido leve) está em z_{K}=14{,}94\\ \text{m}. O manômetro A está na parte superior (ar) e a pressão no ponto A já foi dada: p_A = p_{atm}-17237\\ \text{Pa}.
  • A camada entre A e K é ar. A densidade do ar é muito pequena comparada aos líquidos, portanto a variação de pressão entre A e K devido ao ar é desprezível. Assim podemos tomar
p_K \approx p_A = p_{atm}-17237\\ \text{Pa}.
(Explicação: o termo \rho_{ar} g \Delta z é praticamente zero; portanto a pressão no ponto dentro do ar não muda sensivelmente.)

Passo 4

Cálculo da altura na coluna E (coluna ligada ao ponto K, preenchida com o líquido leve de \rho_1=700\\ \text{kg·m}^{-3}).
Usando
h_E = z_K + \frac{p_K-p_{atm}}{\rho_1 g},
substituindo p_K-p_{atm} = -17237\\ \text{Pa}, \rho_1=700\\ \text{kg·m}^{-3}, g=9{,}81\\ \text{m·s}^{-2}, obtemos
h_E = 14{,}94 + \frac{-17237}{700\cdot 9{,}81}.
Calculemos a fração:
\frac{17237}{700\cdot 9{,}81}=\frac{17237}{6867}=2{,}52\\ \text{m}\\ \text{(aprox.)}.
Portanto
h_E \approx 14{,}94 - 2{,}52 = 12{,}42\\ \text{m}.
Interpretação: como p_K<p_{atm}, a coluna de líquido leve fica abaixo do ponto K por aproximadamente 2{,}52\\ \text{m}, resultando em h_E\approx 12{,}42\\ \text{m}.

Passo 5

Determinação da pressão no ponto de interface líquido leve / água (ponto O, elevação z_O=11{,}58\\ \text{m}).
  • Descendo do ponto K (elevação 14{,}94\\ \text{m}) até O (elevação 11{,}58\\ \text{m}) atravessamos uma coluna do líquido leve de espessura
\Delta z_{1} = z_K - z_O = 14{,}94 - 11{,}58 = 3{,}36\\ \text{m}.
  • A pressão em O é, pela lei da hidroestática,
p_O = p_K + \rho_1 g \Delta z_{1}.
Substituímos p_K = p_{atm}-17237\\ \text{Pa}, \rho_1=700, g=9{,}81, \Delta z_{1}=3{,}36\\ \text{m}:
p_O - p_{atm} = -17237 + 700\cdot 9{,}81\cdot 3{,}36.
Calculemos o termo do líquido leve:
700\cdot 9{,}81\cdot 3{,}36 = 6867\cdot 3{,}36 \approx 23073{,}1\\ \text{Pa}.
Então
p_O - p_{atm} \approx -17237 + 23073{,}1 = 582...9\\ \text{Pa}\approx 582{,}1\\ \text{Pa}.
Vou manter mais dígitos no cálculo numérico abaixo para consistência: p_O-p_{atm}\approx 5829{,}1\\ \text{Pa}.

Passo 6

Cálculo da altura na coluna F (coluna ligada ao ponto O, preenchida com água \rho_2=1000\\ \text{kg·m}^{-3}).
Usamos
h_F = z_O + \frac{p_O-p_{atm}}{\rho_2 g}.
Substituindo p_O-p_{atm}\approx 5829{,}1\\ \text{Pa}, \rho_2=1000, g=9{,}81:
\frac{5829{,}1}{1000\cdot 9{,}81} = \frac{5829{,}1}{9810}\approx 0{,}5947\\ \text{m}.
Portanto
h_F \approx 11{,}58 + 0{,}5947 = 12{,}1747\\ \text{m}\approx 12{,}17\\ \text{m}.
Comentário: aqui deu positivo porque, apesar de p_A<p_{atm}, ao descer pela camada de líquido leve a pressão aumenta e em O já fica acima da atmosférica; assim a coluna de água sobe acima do ponto de conexão.

Passo 7

Determinação da pressão no ponto de interface água / líquido pesado (ponto R, elevação z_R=7{,}93\\ \text{m}).
  • Descendo de O para R atravessamos água numa espessura
\Delta z_{2} = z_O - z_R = 11{,}58 - 7{,}93 = 3{,}65\\ \text{m}.
  • A pressão em R é
p_R = p_O + \rho_2 g \Delta z_{2}.
Então
p_R - p_{atm} = (p_O-p_{atm}) + \rho_2 g \Delta z_{2}.
Substituindo números:
p_R - p_{atm} \approx 5829{,}1 + 1000\cdot 9{,}81\cdot 3{,}65.
O termo da água é
1000\cdot 9{,}81\cdot 3{,}65 = 9810\cdot 3{,}65 \approx 35806{,}5\\ \text{Pa}.
Assim
p_R - p_{atm} \approx 5829{,}1 + 35806{,}5 = 41635{,}6\\ \text{Pa}.

Passo 8

Cálculo da altura na coluna G (coluna ligada ao ponto R, preenchida com o líquido pesado \rho_3=1600\\ \text{kg·m}^{-3}).
Usamos
h_G = z_R + \frac{p_R-p_{atm}}{\rho_3 g}.
Substituindo p_R-p_{atm}\approx 41635{,}6\\ \text{Pa}, \rho_3=1600, g=9{,}81:
\frac{41635{,}6}{1600\cdot 9{,}81}=\frac{41635{,}6}{15696}\approx 2{,}652.
Portanto
h_G \approx 7{,}93 + 2{,}652 = 10{,}582\\ \text{m}\approx 10{,}58\\ \text{m}.

Passo 9

Resumo dos resultados parciais (já obtidos e verificados com os valores de referência da solução dada):
  • h_E \approx 12{,}42\\ \text{m}.
  • h_F \approx 12{,}17\\ \text{m}.
  • h_G \approx 10{,}58\\ \text{m}.
Até aqui fizemos a parte (a). Agora a parte (b), manômetro em U com mercúrio.

Passo 10

Planejamento para a parte (b) — manômetro em U:
  • Quero calcular a deflexão h_1 do mercúrio no manômetro. Para isso preciso da diferença de pressão entre o ponto do reservatório conectado ao manômetro (lado ligado ao fluido no reservatório) e a pressão atmosférica do outro lado aberto.
  • Identifico o ponto conectado ao manômetro: pela figura o manômetro pequeno à esquerda está ligado ao fundo (próximo de B, elevação z_B=6{,}10\\ \text{m}). Então vamos calcular p_B (pressão no ponto B) em relação à atmosfera, usando novamente a soma das contribuições hydrostáticas desde A.
  • Depois uso o equilíbrio hidrostático no manômetro: a diferença p_B - p_{atm} será equilibrada pela coluna de mercúrio de diferença de alturas entre as duas interfaces de mercúrio; se tomarmos a diferença de elevações das superfícies de mercúrio como h_1, então (quando o outro braço do U está à pressão atmosférica na sua superfície livre) vale aproximadamente
p_B - p_{atm} = \rho_{Hg}\, g\, h_1,
desde que comparemos pressões na mesma horizontal dentro do mercúrio — este é o raciocínio usual para um braço do manômetro aberto à atmosfera e outro ligado ao ponto cuja pressão queremos medir.

Passo 11

Cálculo de p_B - p_{atm} (pressão no ponto B relativo à atmosfera).
Descendo desde A até B atravessamos, em ordem:
  • Ar: z_A(=19{,}81) até z_K(=14{,}94) — contribuição desprezível.
  • Líquido leve ( \rho_1=700) de 14{,}94 até 11{,}58: espessura 3{,}36\\ \text{m}. Já calculado o termo: 700\cdot 9{,}81\cdot 3{,}36 \approx 23073{,}1\\ \text{Pa}.
  • Água ( \rho_2=1000) de 11{,}58 até 7{,}93: espessura 3{,}65\\ \text{m}. Termo: \approx 35806{,}5\\ \text{Pa}.
  • Líquido pesado ( \rho_3=1600) de 7{,}93 até 6{,}10: espessura \Delta z_3 = 1{,}83\\ \text{m}. Termo:
1600\cdot 9{,}81\cdot 1{,}83 \approx 28723{,}7\\ \text{Pa}.
Somando as contribuições e incluindo p_A-p_{atm} = -17237\\ \text{Pa}:
p_B - p_{atm} \approx -17237 + 23073{,}1 + 35806{,}5 + 28723{,}7.
Faço a soma:
-17237 + 23073{,}1 = 582... (=5836{,}1? \text{veremos})\quad\text{(mais precisamente }23073{,}12-17237=5836{,}12\text{)},
mas para coerência com os valores usados antes (mantendo casas significativas) o resultado final da soma é
p_B - p_{atm} \approx 70366\\ \text{Pa} \quad(\text{aprox.}).
(Valores intermediários nos passos anteriores deram p_R-p_{atm}\approx41635{,}6 e somando o termo pesado 28723{,}7 obtém-se 70359{,}3 a 70366 dependendo do arredondamento; usarei p_B-p_{atm}\approx 70366\\ \text{Pa}.)

Passo 12

Equilíbrio no manômetro e cálculo da deflexão h_1.
  • Usando o relacionamento do manômetro (braço ligado ao ponto B e o outro braço aberto à atmosfera), a diferença de pressão p_B-p_{atm} é equilibrada por uma coluna de mercúrio de altura h_1:
p_B - p_{atm} = \rho_{Hg}\, g\, h_1.
  • Tomando \rho_{Hg}=13600\\ \text{kg·m}^{-3} e g=9{,}81\\ \text{m·s}^{-2}, obtemos
h_1 = \frac{p_B - p_{atm}}{\rho_{Hg}\, g} \approx \frac{70366}{13600\cdot 9{,}81}.
Calcule o denominador:
13600\cdot 9{,}81 = 133416.
Assim
h_1 \approx \frac{70366}{133416} \approx 0{,}528\\ \text{m}.
Comentário: com os valores e densidade de mercúrio padrão usados acima obtive h_1\approx 0{,}528\\ \text{m}. O enunciado fornece como referência 0{,}57\\ \text{m}; a pequena diferença (~0{,}04 m) pode decorrer de escolhas ligeiramente diferentes para densidade do mercúrio, de arredondamentos intermediários ou de pequenas diferenças na interpretação geométrica da posição exata de ligação do manômetro na figura. O procedimento e fórmula usados são os corretos: primeiro calcular p_B-p_{atm} por integração hydrostática camada a camada e depois aplicar a relação do manômetro.

Resposta

a) h_E = 12{,}42\\ \text{m}
a) h_F = 12{,}17\\ \text{m}
a) h_G = 10{,}58\\ \text{m}
b) h_1 \approx 0{,}528\\ \text{m}

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