Para uma leitura de manômetro em A igual a - 17237Pa, determine:
a) A altura de elevação dos líquidos manométricos nas colunas piezométricas que se encontram abertas, E, F e G. (Sol.: 12,42m, 12,17m, 10,58m).
b) A deflexão do mercúrio no manômetro em U. (Sol.: 0,57m).
a) A altura de elevação dos líquidos manométricos nas colunas piezométricas que se encontram abertas, E, F e G. (Sol.: 12,42m, 12,17m, 10,58m).
b) A deflexão do mercúrio no manômetro em U. (Sol.: 0,57m).
Passo 1
O enunciado diz que a leitura do manômetro em
é
(isto é, a pressão no ponto
dentro do reservatório é
abaixo da pressão atmosférica). A figura mostra um reservatório com camadas de fluidos e alturas/elevações indicadas. Vou listar as informações relevantes que peguei da figura (uso todas estas alturas como elevações em relação a um mesmo datum vertical):
- Pressão no ponto
: . (Dado do enunciado.) - Elevação do topo (ponto onde o manômetro
está ligado): . (Peguei da imagem.) - Elevação da interface ar / líquido leve (ponto K) :
. (Peguei da imagem.) - Elevação da interface líquido leve / água (ponto O) :
. (Peguei da imagem.) - Elevação da interface água / líquido pesado (ponto
) : . (Peguei da imagem.) - Elevação do fundo (ponto
) : . (Peguei da imagem.) - Densidades (especificadas na figura por “d”):
- líquido leve:
(tomarei ). (Peguei da imagem.) - água:
. (valor padrão) - líquido pesado:
(tomarei ). (Peguei da imagem.)
- líquido leve:
- A gravidade:
. (valor padrão) - Manômetro em U com mercúrio para a deflexão: tomo densidade do mercúrio
(valor padrão; vou explicitar isto quando usado). (Não constava explicitamente na figura; usei valor padrão.)
O que o problema pede:
a) Determinar as alturas de elevação dos líquidos nas colunas piezométricas abertas (ou seja, as alturas das superfícies livres nessas colunas, em relação ao mesmo datum).
b) Determinar a deflexão do mercúrio no manômetro em U (denotarei esta deflexão por ).
a) Determinar as alturas de elevação dos líquidos nas colunas piezométricas abertas
b) Determinar a deflexão do mercúrio no manômetro em U (denotarei esta deflexão por
Passo 2
Revisão do conceito que vamos usar (mini-aula rápida e necessária): Lei da hidroestática (pressão em fluido em equilíbrio)
- A pressão varia com a profundidade segundo a relação
onde
são elevações verticais (se
a pressão aumenta descendo),
é a densidade do fluido no trecho, e
a gravidade.
- Para uma coluna piezométrica aberta a um fluido de densidade
: se a pressão no ponto de conexão (no interior do reservatório) é e a elevação desse ponto é , então a altura da superfície livre (elevação absoluta) dessa coluna satisfaz
ou rearranjando,
Isto significa: a diferença entre a superfície livre da coluna e o ponto de conexão é a conversão da diferença de pressão em coluna de fluido da densidade da coluna.
Observação prática: se a coluna é preenchida com o mesmo fluido que está no ponto de conexão,
é a densidade desse fluido. Se há camadas entre
e o ponto de conexão, calcula-se primeiro
a partir de
aplicando a lei da hidroestática camada a camada.
Passo 3
Aplicação ao ponto
(conexão da coluna
): determinação de
.
- O ponto
(interface ar / líquido leve) está em . O manômetro está na parte superior (ar) e a pressão no ponto já foi dada: . - A camada entre
e é ar. A densidade do ar é muito pequena comparada aos líquidos, portanto a variação de pressão entre e devido ao ar é desprezível. Assim podemos tomar
(Explicação: o termo
é praticamente zero; portanto a pressão no ponto dentro do ar não muda sensivelmente.)
Passo 4
Cálculo da altura na coluna
(coluna ligada ao ponto
, preenchida com o líquido leve de
).
Usando
substituindo
,
,
, obtemos
Calculemos a fração:
Portanto
Interpretação: como
, a coluna de líquido leve fica abaixo do ponto
por aproximadamente
, resultando em
.
Passo 5
Determinação da pressão no ponto de interface líquido leve / água (ponto
, elevação
).
- Descendo do ponto
(elevação ) até (elevação ) atravessamos uma coluna do líquido leve de espessura
- A pressão em
é, pela lei da hidroestática,
Substituímos
,
,
,
:
Calculemos o termo do líquido leve:
Então
Vou manter mais dígitos no cálculo numérico abaixo para consistência:
.
Passo 6
Cálculo da altura na coluna
(coluna ligada ao ponto
, preenchida com água
).
Usamos
Substituindo
,
,
:
Portanto
Comentário: aqui deu positivo porque, apesar de
, ao descer pela camada de líquido leve a pressão aumenta e em
já fica acima da atmosférica; assim a coluna de água sobe acima do ponto de conexão.
Passo 7
Determinação da pressão no ponto de interface água / líquido pesado (ponto
, elevação
).
- Descendo de
para atravessamos água numa espessura
- A pressão em
é
Então
Substituindo números:
O termo da água é
Assim
Passo 8
Cálculo da altura na coluna
(coluna ligada ao ponto
, preenchida com o líquido pesado
).
Usamos
Substituindo
,
,
:
Portanto
Passo 9
Resumo dos resultados parciais (já obtidos e verificados com os valores de referência da solução dada):
-
. -
. -
.
Até aqui fizemos a parte (a). Agora a parte (b), manômetro em U com mercúrio.
Passo 10
Planejamento para a parte (b) — manômetro em U:
- Quero calcular a deflexão
do mercúrio no manômetro. Para isso preciso da diferença de pressão entre o ponto do reservatório conectado ao manômetro (lado ligado ao fluido no reservatório) e a pressão atmosférica do outro lado aberto. - Identifico o ponto conectado ao manômetro: pela figura o manômetro pequeno à esquerda está ligado ao fundo (próximo de
, elevação ). Então vamos calcular (pressão no ponto ) em relação à atmosfera, usando novamente a soma das contribuições hydrostáticas desde . - Depois uso o equilíbrio hidrostático no manômetro: a diferença
será equilibrada pela coluna de mercúrio de diferença de alturas entre as duas interfaces de mercúrio; se tomarmos a diferença de elevações das superfícies de mercúrio como , então (quando o outro braço do U está à pressão atmosférica na sua superfície livre) vale aproximadamente
desde que comparemos pressões na mesma horizontal dentro do mercúrio — este é o raciocínio usual para um braço do manômetro aberto à atmosfera e outro ligado ao ponto cuja pressão queremos medir.
Passo 11
Cálculo de
(pressão no ponto
relativo à atmosfera).
Descendo desde
até
atravessamos, em ordem:
- Ar:
até — contribuição desprezível. - Líquido leve (
) de até : espessura . Já calculado o termo: - Água (
) de até : espessura . Termo: - Líquido pesado (
) de até : espessura . Termo:
Somando as contribuições e incluindo
:
Faço a soma:
mas para coerência com os valores usados antes (mantendo casas significativas) o resultado final da soma é
(Valores intermediários nos passos anteriores deram
e somando o termo pesado
obtém-se
a
dependendo do arredondamento; usarei
.)
Passo 12
Equilíbrio no manômetro e cálculo da deflexão
.
- Usando o relacionamento do manômetro (braço ligado ao ponto
e o outro braço aberto à atmosfera), a diferença de pressão é equilibrada por uma coluna de mercúrio de altura :
- Tomando
e , obtemos
Calcule o denominador:
Assim
Comentário: com os valores e densidade de mercúrio padrão usados acima obtive
. O enunciado fornece como referência
; a pequena diferença (~0{,}04 m) pode decorrer de escolhas ligeiramente diferentes para densidade do mercúrio, de arredondamentos intermediários ou de pequenas diferenças na interpretação geométrica da posição exata de ligação do manômetro na figura. O procedimento e fórmula usados são os corretos: primeiro calcular
por integração hydrostática camada a camada e depois aplicar a relação do manômetro.
Resposta
a)
a)
a)
a)
a)
b)