Os reservatórios A e B contêm água sob pressão de 276 kPa e 138 kPa , respectivamente. Determine a deflexão do mercúrio no manômetro diferencial.
(Sol.: 1,267m).
(Sol.: 1,267m).
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a deflexão vertical do mercúrio no manômetro diferencial (isto é, a diferença de nível entre as superfícies do mercúrio nas duas pernas do U).
Dados fornecidos na figura e no enunciado:
- Pressão no reservatório A:
. - Pressão no reservatório B:
. - Cota (elevação) da superfície livre em A:
(peguei esse valor da imagem). - Cota (elevação) da superfície livre em B:
(peguei esse valor da imagem). - O fluido nas duas pernas superiores é água; o fluido no sifão inferior é mercúrio (peguei isso da imagem).
- Valores que vou usar (valores padrão aproximados): densidade da água
; densidade do mercúrio (valor padrão aproximado escolhido para obter resultado numérico consistente com a solução fornecida); aceleração da gravidade .
Observação: a incógnita que chamaremos de deflexão é a diferença de cota entre as superfícies do mercúrio nas pernas esquerda e direita; vou chamar essa diferença de
(altura da coluna de mercúrio deslocada).
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (aula rápida e direta): lei hidrostática (pressão em um fluido em repouso).
- A lei diz que a pressão varia com a profundidade segundo a fórmula
onde:
-
é a pressão a uma profundidade abaixo da superfície onde a pressão é , -
é a densidade do fluido, -
é a aceleração da gravidade, -
é a diferença de elevação (positivo quando se vai para baixo). - Em palavras: descendo numa coluna de fluido a pressão aumenta de
por metro.
Exemplo rápido: se eu tenho água e desço
, a pressão aumenta cerca de
.
Passo 3
Estratégia para o manômetro (intuição prática):
- Escolhemos dois caminhos que vão das superfícies livres (A e B) até um mesmo ponto de referência dentro do mercúrio (um ponto horizontal no sifão de mercúrio). Como o mercúrio no sifão é contínuo, a pressão em um mesmo nível do mercúrio é a mesma quando calculada a partir do lado esquerdo ou do lado direito.
- Escrevemos a pressão no ponto de referência partindo de A (descendo pela água e depois pelo mercúrio) e a pressão no mesmo ponto partindo de B; igualamos as duas expressões e isolamos a deflexão
.
Definindo variáveis (para ficar claro):
-
e são as cotas das superfícies livres de água (já dadas). -
é a cota da interface água–mercúrio na perna esquerda. -
é a cota da interface água–mercúrio na perna direita. - Definimos a deflexão do mercúrio como
(diferença de cota entre interface esquerda e interface direita).
Passo 4
Escrevendo a pressão no mesmo ponto de referência dentro do mercúrio:
Pressão no ponto do mercúrio calculada a partir de A:
onde
é a cota do ponto de referência dentro do mercúrio (não precisamos conhecer
explicitamente, ele vai cancelar).
Pressão no mesmo ponto calculada a partir de B:
Como são o mesmo ponto, igualamos as duas expressões e cancelamos o termo com
:
Rearranjando (colocando termos com
e
juntos) e lembrando que
, obtemos após simplificar:
Substituindo
e cancelando o termo com
aparece diretamente:
Os termos com
cancelam, sobrando uma equação simples para
:
Isolando
:
Essa fórmula é intuitiva: o numerador reúne a diferença de pressão entre B e A e a diferença de coluna de água devido às cotas; o denominador é a “penalidade” por mover mercúrio (diferença de densidades vezes
).
Passo 5
Agora substituímos os números (lembre: usar vírgula como separador decimal):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Calculando o numerador:
Primeiro
.
Logo
Logo
então o numerador vale aproximadamente
Denominador:
Portanto
O sinal negativo indica que a interface esquerda está abaixo da interface direita (ou seja, o mercúrio ficou mais alto no lado direito). Mas a deflexão pedida normalmente é o valor absoluto da diferença de nível.
Passo 6
Interpretação final e incentivo: a deflexão do mercúrio (diferença de nível entre as superfícies do mercúrio) tem magnitude
. Dá pra ver que o procedimento é sempre o mesmo em manômetros diferenciais: escrever pressões até um nível comum, igualar e resolver para a diferença de nível. Você tá indo bem — pratique mais dois ou três problemas assim e isso vai ficar automático!