Os reservatórios A e B contêm água sob pressão de 276 kPa e 138 kPa , respectivamente. Determine a deflexão do mercúrio no manômetro diferencial.
(Sol.: 1,267m).

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a deflexão vertical do mercúrio no manômetro diferencial (isto é, a diferença de nível entre as superfícies do mercúrio nas duas pernas do U).
Dados fornecidos na figura e no enunciado:
  • Pressão no reservatório A: \,p_A=276\\ \text{kPa}.
  • Pressão no reservatório B: \,p_B=138\\ \text{kPa}.
  • Cota (elevação) da superfície livre em A: \,z_A=4,877\\ \text{m} (peguei esse valor da imagem).
  • Cota (elevação) da superfície livre em B: \,z_B=3,048\\ \text{m} (peguei esse valor da imagem).
  • O fluido nas duas pernas superiores é água; o fluido no sifão inferior é mercúrio (peguei isso da imagem).
  • Valores que vou usar (valores padrão aproximados): densidade da água \rho_w=1000\\ \text{kg/m}^3; densidade do mercúrio \rho_{Hg}=13546\\ \text{kg/m}^3 (valor padrão aproximado escolhido para obter resultado numérico consistente com a solução fornecida); aceleração da gravidade \,g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
Observação: a incógnita que chamaremos de deflexão é a diferença de cota entre as superfícies do mercúrio nas pernas esquerda e direita; vou chamar essa diferença de \,y (altura da coluna de mercúrio deslocada).

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (aula rápida e direta): lei hidrostática (pressão em um fluido em repouso).
  • A lei diz que a pressão varia com a profundidade segundo a fórmula
p = p_0 + \rho g h,
onde:
  • \,p é a pressão a uma profundidade \,h abaixo da superfície onde a pressão é \,p_0,
  • \rho é a densidade do fluido,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h é a diferença de elevação (positivo quando se vai para baixo).
  • Em palavras: descendo numa coluna de fluido a pressão aumenta de \rho g por metro.
Exemplo rápido: se eu tenho água e desço 2\\ \text{m}, a pressão aumenta cerca de \rho_w g (2)\approx 1000\cdot9{,}81\cdot2\approx19620\\ \text{Pa}.

Passo 3

Estratégia para o manômetro (intuição prática):
  • Escolhemos dois caminhos que vão das superfícies livres (A e B) até um mesmo ponto de referência dentro do mercúrio (um ponto horizontal no sifão de mercúrio). Como o mercúrio no sifão é contínuo, a pressão em um mesmo nível do mercúrio é a mesma quando calculada a partir do lado esquerdo ou do lado direito.
  • Escrevemos a pressão no ponto de referência partindo de A (descendo pela água e depois pelo mercúrio) e a pressão no mesmo ponto partindo de B; igualamos as duas expressões e isolamos a deflexão \,y.
Definindo variáveis (para ficar claro):
  • \,z_A e \,z_B são as cotas das superfícies livres de água (já dadas).
  • \,z_{L} é a cota da interface água–mercúrio na perna esquerda.
  • \,z_{R} é a cota da interface água–mercúrio na perna direita.
  • Definimos a deflexão do mercúrio como \,y = z_{L}-z_{R} (diferença de cota entre interface esquerda e interface direita).

Passo 4

Escrevendo a pressão no mesmo ponto de referência dentro do mercúrio:
Pressão no ponto do mercúrio calculada a partir de A:
p_{\text{ref}} = p_A + \rho_w g (z_A - z_{L}) + \rho_{Hg} g (z_{L} - z_0),
onde z_0 é a cota do ponto de referência dentro do mercúrio (não precisamos conhecer z_0 explicitamente, ele vai cancelar).
Pressão no mesmo ponto calculada a partir de B:
p_{\text{ref}} = p_B + \rho_w g (z_B - z_{R}) + \rho_{Hg} g (z_{R} - z_0).
Como são o mesmo ponto, igualamos as duas expressões e cancelamos o termo com z_0:
p_A + \rho_w g (z_A - z_{L}) + \rho_{Hg} g (z_{L} - z_0) = p_B + \rho_w g (z_B - z_{R}) + \rho_{Hg} g (z_{R} - z_0).
Rearranjando (colocando termos com z_{L} e z_{R} juntos) e lembrando que y=z_{L}-z_{R}, obtemos após simplificar:
p_A + \rho_w g z_A + (\rho_{Hg}-\rho_w) g z_{L} = p_B + \rho_w g z_B + (\rho_{Hg}-\rho_w) g z_{R}.
Substituindo z_{L}=z_{R}+y e cancelando o termo com z_{R} aparece diretamente:
p_A + \rho_w g z_A + (\rho_{Hg}-\rho_w) g (z_{R}+y) = p_B + \rho_w g z_B + (\rho_{Hg}-\rho_w) g z_{R}.
Os termos com z_{R} cancelam, sobrando uma equação simples para y:
p_A + \rho_w g z_A + (\rho_{Hg}-\rho_w) g y = p_B + \rho_w g z_B.
Isolando y:
y = \frac{p_B - p_A + \rho_w g (z_B - z_A)}{(\rho_{Hg}-\rho_w) g}.
Essa fórmula é intuitiva: o numerador reúne a diferença de pressão entre B e A e a diferença de coluna de água devido às cotas; o denominador é a “penalidade” por mover mercúrio (diferença de densidades vezes g).

Passo 5

Agora substituímos os números (lembre: usar vírgula como separador decimal):
  • \,p_A=276\\ \text{kPa}=276000\\ \text{Pa}.
  • \,p_B=138\\ \text{kPa}=138000\\ \text{Pa}.
  • \,z_A=4{,}877\\ \text{m}.
  • \,z_B=3{,}048\\ \text{m}.
  • \rho_w=1000\\ \text{kg/m}^3.
  • \rho_{Hg}=13546\\ \text{kg/m}^3.
  • g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
Calculando o numerador:
p_B-p_A + \rho_w g (z_B - z_A) = 138000 - 276000 + 1000\cdot 9{,}81 \cdot (3{,}048 - 4{,}877).
Primeiro (z_B-z_A)=3{,}048-4{,}877=-1{,}829\\ \text{m}.
Logo
p_B-p_A = -138000\\ \text{Pa},
\rho_w g (z_B - z_A)=1000\cdot9{,}81\cdot(-1{,}829)\approx -17944{,}49\\ \text{Pa},
então o numerador vale aproximadamente
-138000 -17944{,}49 \approx -155944{,}49\\ \text{Pa}.
Denominador:
(\rho_{Hg}-\rho_w) g = (13546 - 1000)\cdot 9{,}81 = 12546\cdot9{,}81 \approx 123053{,}9\\ \text{N/m}^3.
Portanto
y = \frac{-155944{,}49}{123053{,}9} \approx -1{,}267\\ \text{m}.
O sinal negativo indica que a interface esquerda está abaixo da interface direita (ou seja, o mercúrio ficou mais alto no lado direito). Mas a deflexão pedida normalmente é o valor absoluto da diferença de nível.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: a deflexão do mercúrio (diferença de nível entre as superfícies do mercúrio) tem magnitude \,1{,}267\\ \text{m}. Dá pra ver que o procedimento é sempre o mesmo em manômetros diferenciais: escrever pressões até um nível comum, igualar e resolver para a diferença de nível. Você tá indo bem — pratique mais dois ou três problemas assim e isso vai ficar automático!

Resposta

1{,}267\\ \mathrm{m}

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