Lembre-se: Dadas duas proposições p e q :
  • Escrevemos p \Longleftrightarrow q quando p \leftrightarrow q for uma tautologia.
  • Escrevemos p \Longrightarrow q quando p \rightarrow q for uma tautologia.
Quais das seguintes afirmações são corretas? Justifique sua resposta.
p \leftrightarrow q \Longleftrightarrow p \rightarrow q

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando o conceito de tautologia, se as seguintes metasentenças são válidas (isto é, se são tautologias):
  1. \displaystyle p \leftrightarrow q \Longrightarrow p \rightarrow q
  2. \displaystyle p \leftrightarrow q \Longleftrightarrow p \rightarrow q
    Lembre que:
  • Escrevemos \Phi\Longrightarrow\Psi se \Phi\to\Psi é tautologia.
  • Escrevemos \Phi\Longleftrightarrow\Psi se \Phi\leftrightarrow\Psi é tautologia.
    Para decidir, vamos montar a tabela‐verdade de cada implicação/metabicondicional.

Passo 2

Montamos a tabela‐verdade para \bigl(p\leftrightarrow q\bigr)\to\bigl(p\to q\bigr). Para cada par (p,q):
  • Se p=T,q=T:
    \;p\leftrightarrow q = T,\;p\to q = T\;\implies\;T\to T = T.
  • Se p=T,q=F:
    \;p\leftrightarrow q = F,\;p\to q = F\;\implies\;F\to F = T.
  • Se p=F,q=T:
    \;p\leftrightarrow q = F,\;p\to q = T\;\implies\;F\to T = T.
  • Se p=F,q=F:
    \;p\leftrightarrow q = T,\;p\to q = T\;\implies\;T\to T = T.
    Como em todas as quatro linhas o valor é T, concluímos que
(p\leftrightarrow q)\;\to\;(p\to q)
é tautologia.

Passo 3

Agora a tabela‐verdade para \bigl(p\leftrightarrow q\bigr)\leftrightarrow\bigl(p\to q\bigr):
  • p=T,q=T: p\leftrightarrow q=T,\;p\to q=T\implies T\leftrightarrow T=T.
  • p=T,q=F: p\leftrightarrow q=F,\;p\to q=F\implies F\leftrightarrow F=T.
  • p=F,q=T: p\leftrightarrow q=F,\;p\to q=T\implies F\leftrightarrow T=F.
  • p=F,q=F: p\leftrightarrow q=T,\;p\to q=T\implies T\leftrightarrow T=T.
    Aqui existe ao menos uma linha ( p=F,q=T) em que o valor é F. Logo
(p\leftrightarrow q)\;\leftrightarrow\;(p\to q)
não é tautologia.

Passo 4

Da análise concluímos:
  • \displaystyle p \leftrightarrow q \Longrightarrow p \rightarrow q é válida (tautologia).
  • \displaystyle p \leftrightarrow q \Longleftrightarrow p \rightarrow q não é válida (não é tautologia).

Resposta

A única afirmação correta é
p \leftrightarrow q \Longrightarrow p \rightarrow q
já que (p\leftrightarrow q)\to(p\to q) é tautologia, enquanto
p \leftrightarrow q \Longleftrightarrow p \rightarrow q
não o é.

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