Lembre-se de que
\operatorname{cosh} (b t)=\frac{1}{2}\left(e^{b t}+e^{-b t}\right) \operatorname{esenh}(b t)=\frac{1}{2}\left(e^{b t}-e^{-b t}\right).
Use a linearidade da transformada de Laplace para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais.
f(t)=\operatorname{senh}(b t)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: encontrar a transformada de Laplace da função f(t)=\operatorname{senh}(b t), usando linearidade.
  • Dados: a e b são constantes reais (aqui só precisamos de b). Também foi dada a identidade hiperbólica (peguei do enunciado):
\operatorname{cosh}(bt)=\tfrac{1}{2}\bigl(e^{bt}+e^{-bt}\bigr)\quad\text{e}\quad \operatorname{sinh}(bt)=\tfrac{1}{2}\bigl(e^{bt}-e^{-bt}\bigr).
  • Objetivo imediato: usar a expressão em exponenciais e a linearidade da transformada de Laplace para obter \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(bt)\}(s).

Passo 2

Lembrete: definição e propriedade que vamos usar.
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função g(t) definida em t\ge0,
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} g(t)\,dt,
desde que a integral convirja para o valor de s considerado. Aqui s é um número complexo; ao final indicaremos a condição de convergência.
  • Linearidade da transformada de Laplace (fórmula que vamos usar): se g(t)=\alpha u(t)+\beta v(t) com constantes \alpha,\beta, então
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\alpha\,\mathcal{L}\{u(t)\}(s)+\beta\,\mathcal{L}\{v(t)\}(s).
Isto permite decompor \operatorname{sinh}(bt) em exponenciais e transformar cada termo separadamente.

Passo 3

Expressar \operatorname{sinh}(bt) em termos de exponenciais (usa-se a identidade dada).
  • Pelo enunciado (peguei esta fórmula do enunciado),
\operatorname{sinh}(bt)=\tfrac{1}{2}\bigl(e^{bt}-e^{-bt}\bigr).
Então, por linearidade,
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(bt)\}(s)=\tfrac{1}{2}\Bigl(\mathcal{L}\{e^{bt}\}(s)-\mathcal{L}\{e^{-bt}\}(s)\Bigr).

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{e^{bt}\}(s) diretamente pela definição.
  • Aplicando a definição,
\mathcal{L}\{e^{bt}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{bt}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-b)t}\,dt.
  • Integrando a exponencial (fórmula básica: \int_{0}^{\infty} e^{-c t}\,dt=\dfrac{1}{c} se \operatorname{Re}\text{(c)}>0),
\mathcal{L}\{e^{bt}\}(s)=\frac{1}{s-b},
desde que \operatorname{Re}(s-b)>0, ou seja, \operatorname{Re}(s)>b.

Passo 5

Calcular \mathcal{L}\{e^{-bt}\}(s) do mesmo jeito.
  • Pela definição,
\mathcal{L}\{e^{-bt}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{-bt}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+b)t}\,dt.
  • Integrando,
\mathcal{L}\{e^{-bt}\}(s)=\frac{1}{s+b},
desde que \operatorname{Re}(s+b)>0, ou seja, \operatorname{Re}(s)>-b.

Passo 6

Combinar os dois resultados usando linearidade e simplificar.
  • Substituindo em \tfrac{1}{2}\bigl(\mathcal{L}\{e^{bt}\}-\mathcal{L}\{e^{-bt}\}\bigr):
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(bt)\}(s)=\tfrac{1}{2}\left(\frac{1}{s-b}-\frac{1}{s+b}\right).
  • Colocar em denominador comum (s-b)(s+b)=s^{2}-b^{2}:
\tfrac{1}{2}\left(\frac{s+b-(s-b)}{s^{2}-b^{2}}\right)=\tfrac{1}{2}\left(\frac{2b}{s^{2}-b^{2}}\right).
  • Simplificando o 2 que cancela:
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(bt)\}(s)=\frac{b}{s^{2}-b^{2}}.

Passo 7

Condição de convergência (região de s onde a transformada existe).
  • Para que ambas as transformadas \mathcal{L}\{e^{bt}\} e \mathcal{L}\{e^{-bt}\} existam é necessário que simultaneamente \operatorname{Re}(s)>b e \operatorname{Re}(s)>-b.
  • Essas duas condições juntas são equivalentes a
\operatorname{Re}(s) > |b|.
Portanto a transformada obtida vale para \operatorname{Re}(s)>|b|.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(bt)\}(s)=\frac{b}{s^{2}-b^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>|b|

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