Lembre-se de que
.
Use a linearidade da transformada de Laplace para encontrar a transformada de Laplace da função dada;
e
são constantes reais.
Use a linearidade da transformada de Laplace para encontrar a transformada de Laplace da função dada;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: encontrar a transformada de Laplace da função
, usando linearidade. - Dados:
e são constantes reais (aqui só precisamos de ). Também foi dada a identidade hiperbólica (peguei do enunciado):
- Objetivo imediato: usar a expressão em exponenciais e a linearidade da transformada de Laplace para obter
.
Passo 2
Lembrete: definição e propriedade que vamos usar.
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
definida em ,
desde que a integral convirja para o valor de
considerado. Aqui
é um número complexo; ao final indicaremos a condição de convergência.
- Linearidade da transformada de Laplace (fórmula que vamos usar): se
com constantes , então
Isto permite decompor
em exponenciais e transformar cada termo separadamente.
Passo 3
Expressar
em termos de exponenciais (usa-se a identidade dada).
- Pelo enunciado (peguei esta fórmula do enunciado),
Então, por linearidade,
Passo 4
Calcular
diretamente pela definição.
- Aplicando a definição,
- Integrando a exponencial (fórmula básica:
se ),
desde que
, ou seja,
.
Passo 5
Calcular
do mesmo jeito.
- Pela definição,
- Integrando,
desde que
, ou seja,
.
Passo 6
Combinar os dois resultados usando linearidade e simplificar.
- Substituindo em
:
- Colocar em denominador comum
:
- Simplificando o
que cancela:
Passo 7
Condição de convergência (região de
onde a transformada existe).
- Para que ambas as transformadas
e existam é necessário que simultaneamente e . - Essas duas condições juntas são equivalentes a
Portanto a transformada obtida vale para
.