Ẹncontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{3}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar uma representação em série de potências para f(x)=\dfrac{3}{1-x^{2}} e (ii) determinar o intervalo de convergência dessa série.
Informações dadas: a função explícita f(x)=\dfrac{3}{1-x^{2}}.
Objetivo: escrever f(x) como uma soma de potências de x (uma série do tipo \sum a_n x^n) e dizer para quais x essa soma converge.

Passo 2

Lembrando a série geométrica básica: para uma variável t vale a identidade
\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}=\frac{1}{1-t},
desde que |t|<1.
Explicação didática: essa fórmula vem da soma parcial S_N=1+t+\cdots+t^{N}=\dfrac{1-t^{N+1}}{1-t}. Ao fazer N\to\infty e se |t|<1 então t^{N+1}\to0, ficando S=\dfrac{1}{1-t}. Aqui cada símbolo significa:
  • t é a variável da série geométrica;
  • n é o índice de soma, variando em n=0,1,2,\dots;
  • a condição |t|<1 garante que os termos vão para zero e a soma infinita converge.

Passo 3

Aplicar a série geométrica com t=x^{2}. Substituindo t=x^{2} na identidade obtemos, quando |x^{2}|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} (x^{2})^{n}=\frac{1}{1-x^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por 3 (pois f(x)=3\cdot\dfrac{1}{1-x^{2}}) resulta
f(x)=\frac{3}{1-x^{2}}=3\sum_{n=0}^{\infty} (x^{2})^{n}=3\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}.

Passo 4

Escrever explicitamente os primeiros termos e os coeficientes: desenvolvendo temos
\frac{3}{1-x^{2}}=3+3x^{2}+3x^{4}+3x^{6}+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty} 3x^{2n}.
Logo, na forma \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k os coeficientes são a_{2n}=3 para todo n\ge0 e a_{2n+1}=0 para todo n\ge0.

Passo 5

Determinar o intervalo de convergência. A condição obtida ao substituir foi |x^{2}|<1, isto é |x|<1. Podemos também justificar com o teste da raiz: para o termo geral b_n=3x^{2n},
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|b_n|}=\lim_{n\to\infty} \left(3^{1/n}\right)|x|^{2}=|x|^{2}.
Pelo teste da raiz a série converge se |x|^{2}<1, ou seja |x|<1. Nos extremos x=1 e x=-1 a função original é indefinida ( 1-x^{2}=0), e a série torna-se 3+3+3+\cdots (divergente), portanto os extremos não pertencem ao intervalo de convergência. Assim o intervalo de convergência é (-1,1). O raio de convergência é R=1.

Passo 6

Dica prática para prova: memorize a série geométrica básica e aprenda a fazer substituições do tipo t=x, t=x^{2}, t ax etc. Para conferir que está tudo certo, pode derivar a série termo a termo dentro do raio de convergência. Exemplo rápido: derivando
\frac{d}{dx}\left(3\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}\right)=3\sum_{n=1}^{\infty} 2n\,x^{2n-1},
e avaliando em x=0 obtém-se f'(0)=0, que coincide com a derivada direta f'(x)=\dfrac{6x}{(1-x^{2})^{2}} avaliada em x=0.

Resposta

\frac{3}{1-x^{2}}=3\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}=3+3x^{2}+3x^{4}+\cdots
Intervalo de convergência: (-1,1)

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