Ẹncontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar uma representação em série de potências para
e (ii) determinar o intervalo de convergência dessa série.
Informações dadas: a função explícita .
Objetivo: escrever como uma soma de potências de
(uma série do tipo
) e dizer para quais
essa soma converge.
Informações dadas: a função explícita
Objetivo: escrever
Passo 2
Lembrando a série geométrica básica: para uma variável
vale a identidade
desde que
.
Explicação didática: essa fórmula vem da soma parcial . Ao fazer
e se
então
, ficando
. Aqui cada símbolo significa:
Explicação didática: essa fórmula vem da soma parcial
-
é a variável da série geométrica; -
é o índice de soma, variando em ; - a condição
garante que os termos vão para zero e a soma infinita converge.
Passo 3
Aplicar a série geométrica com
. Substituindo
na identidade obtemos, quando
,
Multiplicando ambos os lados por
(pois
) resulta
Passo 4
Escrever explicitamente os primeiros termos e os coeficientes: desenvolvendo temos
Logo, na forma
os coeficientes são
para todo
e
para todo
.
Passo 5
Determinar o intervalo de convergência. A condição obtida ao substituir foi
, isto é
. Podemos também justificar com o teste da raiz: para o termo geral
,
Pelo teste da raiz a série converge se
, ou seja
. Nos extremos
e
a função original é indefinida (
), e a série torna-se
(divergente), portanto os extremos não pertencem ao intervalo de convergência. Assim o intervalo de convergência é
. O raio de convergência é
.
Passo 6
Dica prática para prova: memorize a série geométrica básica e aprenda a fazer substituições do tipo
,
,
etc. Para conferir que está tudo certo, pode derivar a série termo a termo dentro do raio de convergência. Exemplo rápido: derivando
e avaliando em
obtém-se
, que coincide com a derivada direta
avaliada em
.
Resposta
Intervalo de convergência: