4-42 O conversor trifásico controlado de seis pulsos da Fig. 4-20a é alimentado por uma fonte trifásica de 480 V rms de linha em 60 m Hz . O ângulo de atraso é de 50^{\circ} e a carga é uma combinação R L em série com R=10 \Omega e L=10 \mathrm{mH}. Determine (a) a corrente média na carga, (b) a amplitude das seis harmônicas da corrente e (c) a corrente rms em cada fase da fonte CA.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e dá estes dados:
  • Fonte trifásica com tensão de linha 480\\ \text{V}_\text{rms} e 60\\ \text{Hz}.
  • Conversor trifásico controlado de seis pulsos (ponte completa trifásica) com ângulo de atraso (firing) \alpha = 50^\circ.
  • Carga série R L com R = 10\\ \Omega e L = 10\\ \text{mH}.
    As perguntas são:
    (a) determinar a corrente média na carga (valor médio em regime estacionário);
    (b) determinar a amplitude das seis primeiras harmônicas significativas da corrente de fase;
    (c) determinar a corrente eficaz (rms) em cada fase da fonte CA.
Informações adicionais que vou usar (todas dadas ou inferidas do enunciado):
  • Em regime estacionário, a média da tensão no indutor em um período é zero, então a média da tensão aplicada ao resistor é igual à média da tensão de saída do conversor; assim a corrente média pode ser obtida dividindo a tensão média do conversor por R.
  • Para um conversor trifásico de seis pulsos, a tensão média de saída (com condução contínua e sem sobreposição de comutação) é
\overline{V_d} = \frac{3 V_{LL,\text{peak}}}{\pi}\cos\alpha,
onde V_{LL,\text{peak}} é o valor de pico da tensão de linha (linha a linha).
  • Com corrente quase contínua (indutância suficiente para corrente contínua ao longo de cada troca) a forma da corrente de cada fase é a forma de “seis passos” conhecida — a corrente de cada fase vale +I_0 por 120^\circ, 0 por 60^\circ, -I_0 por 120^\circ e 0 por 60^\circ (com média zero). Essa onda tem harmônicos de ordem n=6k\pm1.
  • Vou assumir condução contínua (a indutância, apesar de pequena, junto com a resistência e a operação do conversor neste problema permite usar a formulação padrão — a média do indutor em regime é zero — e assim usar as fórmulas clássicas sem modelar overlap de comutação).

Passo 2

Calcular tensões fundamentais e a tensão média do conversor:
  • Tensão de linha (rms) dada: V_{LL,\text{rms}} = 480\\ \text{V}.
  • Pico da tensão linha a linha:
V_{LL,\text{peak}} = \sqrt{2}\,V_{LL,\text{rms}} = \sqrt{2}\cdot 480.
  • Vamos calcular numericamente:
V_{LL,\text{peak}} = 480\sqrt{2} \approx 678{,}82296\\ \text{V}.

Passo 3

Fórmula da tensão média de saída do conversor controlado (explicação didática):
  • Ideia física: num conversor trifásico de seis pulsos, a cada intervalo de 60^\circ a tensão de saída é igual a uma das tensões linha-a-linha instantâneas; ao atrasar os disparos em \alpha a forma de onda é deslocada, e a média ao longo do período resulta na expressão com \cos\alpha.
  • Fórmula conhecida (derivação padrão em potência elétrica / eletrônica de potência):
\overline{V_d} = \frac{3\,V_{LL,\text{peak}}}{\pi}\cos\alpha.
  • Substituindo os valores:
\overline{V_d} = \frac{3\cdot 678{,}82296}{\pi}\cos(50^\circ).
  • Calcular \cos(50^\circ):
\cos(50^\circ)\approx 0{,}64278761.
  • Então numericamente:
\overline{V_d} \approx \frac{2036{,}4689}{3{,}14159265}\cdot 0{,}64278761 \approx 648{,}547\cdot 0{,}64278761 \approx 417{,}085\\ \text{V}.

Passo 4

Corrente média na carga (parte a) — explicação e cálculo:
  • Em regime estacionário, a média da tensão no indutor é zero em um período. Assim a média da tensão do conversor aparece no resistor e a corrente média na carga (que chamarei de I_0) é simplesmente
I_0 = \frac{\overline{V_d}}{R}.
  • Substituindo numericamente:
I_0 = \frac{417{,}085}{10} \approx 41{,}7085\\ \text{A}.
  • Interpretação: esse é o valor médio (DC) da corrente que circula pela carga ao longo do período — é o valor que tipicamente se chama corrente média do conversor para carga RL com condução contínua. (Motivação pedagógica: isso vale independente do valor de L porque a integral da tensão no indutor sobre um período é zero em regime.)

Passo 5

Forma de onda da corrente de fase e preparação para cálculo das harmônicas (parte b) — ensino prático:
  • Para corrente próxima de contínua (condução contínua), a corrente de cada fase tem a forma de “seis passos”: em cada ciclo de 360^\circ cada fase apresenta um pulso de +I_0 com largura 120^\circ, depois 0 por 60^\circ, depois -I_0 por 120^\circ, depois 0 por 60^\circ (e repete). A média desse pulso é zero (boa verificação).
  • Essa função periódica é ímpar e tem harmônicos apenas das ordens n=6k\pm1 (ou seja 1,5,7,11,13,17,\dots). Vamos obter a expressão das amplitudes.

Passo 6

Derivação da expressão das amplitudes harmônicas (didática, sem pular passos):
  • Considere a corrente de fase i(\theta) ( \theta=\omega t) que vale +I_0 no intervalo -\pi/3\le\theta\le\pi/3, é 0 no intervalo \pi/3\le\theta\le\pi/3+\pi/3=\;2\pi/3 (ajustando fase conforme conveniência), depois tem simetria que gera os blocos negativos e zeros. Para nosso objetivo basta usar o resultado padrão que se obtém integrando a série de Fourier dessa forma retangular.
  • O coeficiente de amplitude (valor de pico) da harmônica de ordem n (para os harmônicos não nulos, que são n=6k\pm1) é
I_n = \frac{2 I_0}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{3}\right).
  • Observação: para n=6k\pm1, \sin(n\pi/3)=\pm\sin(\pi/3)=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}, e portanto em módulo temos
|I_n| = \frac{2 I_0}{n\pi}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{I_0\sqrt{3}}{n\pi}.
  • Conclusão prática: as amplitudes (pico) das harmônicas não-nulas seguem a regra simples
I_n = \frac{I_0\sqrt{3}}{n\pi}\quad\text{(para }n=6k\pm1\text{),}
e todos os outros harmônicos (ordem múltipla de 3 ou pares) são nulos devido às simetrias.

Passo 7

Cálculo numérico das seis harmônicas solicitadas (parte b):
  • Primeiro, use I_0 \approx 41{,}7085\\ \text{A}.
  • Coeficiente comum:
\frac{I_0\sqrt{3}}{\pi} = 41{,}7085\cdot\frac{\sqrt{3}}{\pi}\approx 41{,}7085\cdot 0{,}551284 = 22{,}998\\ \text{A} \\ (\text{amplitude da 1ª harmônica }n=1).ªô
  • Agora as seis primeiras harmônicas não-nulas (em ordens): n=1,5,7,11,13,17. Os respectivos picos são I_n = \dfrac{22{,}998}{n} em ampères.
  • Cálculos:
    • n=1:\quad I_1 \approx 22{,}998\\ \text{A}.
    • n=5:\quad I_5 \approx \dfrac{22{,}998}{5} \approx 4{,}5996\\ \text{A}.
    • n=7:\quad I_7 \approx \dfrac{22{,}998}{7} \approx 3{,}2854\\ \text{A}.
    • n=11:\quad I_{11} \approx \dfrac{22{,}998}{11} \approx 2{,}0907\\ \text{A}.
    • n=13:\quad I_{13} \approx \dfrac{22{,}998}{13} \approx 1{,}7698\\ \text{A}.
    • n=17:\quad I_{17} \approx \dfrac{22{,}998}{17} \approx 1{,}3522\\ \text{A}.
(Estas são amplitudes de pico das componentes senoidais; as fases seguem o padrão de mudança de sinal alternado conforme n, mas o enunciado pedia as amplitudes.)

Passo 8

Cálculo da corrente rms em cada fase da fonte CA (parte c) — explicação e cálculo direto no domínio do tempo:
  • Método mais simples e exato: usar a forma de onda no tempo para obter o valor rms. A corrente de fase vale \pm I_0 durante, no total, 240^\circ por ciclo? Não — cuidado: cada fase toma valores \pm I_0 por 120^\circ cada e é zero por 60^\circ em dois intervalos; então a soma do tempo em que |i|=I_0 por ciclo é 120^\circ+120^\circ = 240^\circ? Não — rever: a forma correta (conforme o passo 5/6) é: +I_0 por 120^\circ, zero por 60^\circ, -I_0 por 120^\circ, zero por 60^\circ. Assim o tempo em que i^2=I_0^2 é 120^\circ+120^\circ = 240^\circ = \tfrac{4\pi}{3} rad.
  • Valor rms definido por
I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} i^2(\theta)\,d\theta}.
  • Substituindo a forma em que i^2(\theta)=I_0^2 por um total de \tfrac{4\pi}{3} rad por ciclo e zero no resto, obtemos
I_{\text{rms}} = I_0\sqrt{\frac{(4\pi/3)}{2\pi}} = I_0\sqrt{\frac{2}{3}}.
  • Numericamente:
I_{\text{rms}} = 41{,}7085\cdot\sqrt{\frac{2}{3}} \approx 41{,}7085\cdot 0{,}81649658 \approx 34{,}048\\ \text{A}.
  • Interpretação: este é o valor eficaz da corrente em cada fase da fonte CA (inclui contribuição de todos os harmônicos). Uma verificação alternativa consistiria em somar os quadrados das componentes harmônicas (cada componente tem rms I_n/\sqrt{2}) e tirar raiz quadrada; esse procedimento, levando todas as infinitas harmônicas, dá o mesmo resultado que o cálculo direto no tempo.

Resposta

(a) \;I_0 \approx 41{,}7085\\ \text{A}
(b) Amplitudes (pico) das seis primeiras harmônicas não-nulas:
I_1 \approx 22{,}998\\ \text{A},\quad I_5 \approx 4{,}5996\\ \text{A},\quad I_7 \approx 3{,}2854\\ \text{A},
I_{11} \approx 2{,}0907\\ \text{A},\quad I_{13} \approx 1{,}7698\\ \text{A},\quad I_{17} \approx 1{,}3522\\ \text{A}.
(c) \;I_{\text{rms, fase}} \approx 34{,}048\\ \text{A}

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