Lembre-se que
\operatorname{cosh} b t=\left(e^{b t}+e^{-b t}\right) / 2 e
\operatorname{senh} b t=\left(e^{b t}+e^{-b t}\right) / 2. Encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais.
Questão 18 (7-6.1):
f(t)=\operatorname{cosh} b t

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=\operatorname{cosh} b t com b constante real e pede para encontrar a transformada de Laplace de f(t). Também foi fornecida a identidade
\operatorname{cosh} b t=\frac{e^{b t}+e^{-b t}}{2}.
Informações importantes a listar:
  • A função a transformar é f(t)=\operatorname{cosh} b t.
  • A fórmula que vou usar para \operatorname{cosh} b t está acima (peguei essa expressão do enunciado).
  • O que se pede: calcular \mathcal{L}\{f(t)\}(s), isto é, a transformada de Laplace de \operatorname{cosh} b t.
  • Vou precisar indicar a condição de convergência em s (para quais valores de s a integral que define a transformada converge).

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e condição de convergência (aula rápida e prática).
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt,
onde s é, em geral, um número complexo. Para que essa integral exista e seja finita, precisamos que a parte real de s faça os expoentes das integrais decrescerem suficientemente rápido no infinito. Vou usar essa definição aplicando-a diretamente em f(t)=\operatorname{cosh} b t.

Passo 3

Substituir \operatorname{cosh} b t pela sua expressão em exponenciais e separar a integral em duas partes.
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh} b t\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\operatorname{cosh} b t\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\frac{e^{b t}+e^{-b t}}{2}\,dt.
Agora distribuo o integrando e separo:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh} b t\}(s)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}e^{b t}\,dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}e^{-b t}\,dt.
Simplificando os expoentes:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh} b t\}(s)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-(s-b)t}\,dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-(s+b)t}\,dt.

Passo 4

Avaliar cada integral usando a integral básica de uma exponencial.
Fato útil (e muito usado em provas): para um número complexo \alpha com \operatorname{Re}(\alpha)>0 vale
\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha t}\,dt=\left[-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{\alpha}.
Aplicando isso às duas integrais acima com \alpha_1=s-b e \alpha_2=s+b, precisamos de \operatorname{Re}(s-b)>0 e \operatorname{Re}(s+b)>0. Para b real isso equivale a \operatorname{Re}(s)>|b|. Sob essa condição:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh} b t\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-b}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+b}.

Passo 5

Fazer a álgebra para simplificar a soma das frações.
Somando as frações com denominador comum (s-b)(s+b)=s^{2}-b^{2} temos
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s+b}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+b)+(s-b)}{s^{2}-b^{2}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2s}{s^{2}-b^{2}} =\frac{s}{s^{2}-b^{2}}.
Portanto, para \operatorname{Re}(s)>|b| a transformada de Laplace existe e é a expressão acima.

Passo 6

Resumo didático rápido (como usar isso na prova).
  • Estratégia que sempre funciona para funções hiperbólicas: expressar \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} em termos de exponenciais e aplicar a definição da transformada de Laplace; as integrais ficam do tipo \int_0^\infty e^{-\alpha t}\,dt, que são fáceis de calcular.
  • Convergência: prestar atenção nas condições de \operatorname{Re}(s) (aqui \operatorname{Re}(s)>|b|).
  • Resultado útil a decorar: \mathcal{L}\{\operatorname{cosh} b t\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}-b^{2}} e também \mathcal{L}\{\operatorname{sinh} b t\}(s)=\dfrac{b}{s^{2}-b^{2}}, ambos para \operatorname{Re}(s)>|b|.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{cosh} b t\}(s)=\frac{s}{s^{2}-b^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>|b|

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