Lembre-se que
e
. Encontre a transformada de Laplace da função dada;
e
são constantes reais.
Questão 18 (7-6.1):
Questão 18 (7-6.1):
Passo 1
O enunciado dá a função
com
constante real e pede para encontrar a transformada de Laplace de
. Também foi fornecida a identidade
Informações importantes a listar:
- A função a transformar é
. - A fórmula que vou usar para
está acima (peguei essa expressão do enunciado). - O que se pede: calcular
, isto é, a transformada de Laplace de . - Vou precisar indicar a condição de convergência em
(para quais valores de a integral que define a transformada converge).
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e condição de convergência (aula rápida e prática).
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
onde
é, em geral, um número complexo. Para que essa integral exista e seja finita, precisamos que a parte real de
faça os expoentes das integrais decrescerem suficientemente rápido no infinito. Vou usar essa definição aplicando-a diretamente em
.
Passo 3
Substituir
pela sua expressão em exponenciais e separar a integral em duas partes.
Agora distribuo o integrando e separo:
Simplificando os expoentes:
Passo 4
Avaliar cada integral usando a integral básica de uma exponencial.
Fato útil (e muito usado em provas): para um número complexo com
vale
Fato útil (e muito usado em provas): para um número complexo
Aplicando isso às duas integrais acima com
e
, precisamos de
e
. Para
real isso equivale a
. Sob essa condição:
Passo 5
Fazer a álgebra para simplificar a soma das frações.
Somando as frações com denominador comum temos
Somando as frações com denominador comum
Portanto, para
a transformada de Laplace existe e é a expressão acima.
Passo 6
Resumo didático rápido (como usar isso na prova).
- Estratégia que sempre funciona para funções hiperbólicas: expressar
e em termos de exponenciais e aplicar a definição da transformada de Laplace; as integrais ficam do tipo , que são fáceis de calcular. - Convergência: prestar atenção nas condições de
(aqui ). - Resultado útil a decorar:
e também , ambos para .