Procure soluções em séries de potência da equação diferencial dada em torno do ponto x_{0} : encontre a relação de recorrência.
(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y_{1} e y_{2} (a menos que as séries terminem antes).
(c) Avaliando o Wronskiano W\left(y_{1}, y_{2}\right)\left(x_{0}\right), mostre que y e y formam um conjunto fundamental de soluções.
(d) Se possível, encontre o termo geral de cada solução.
y^{\prime \prime}-k^{2} x^{2} y=0 ; x_{0}=0 ; k \text { constante }

Passo 1

O enunciado pede que eu procure soluções em séries de potência em torno de x_{0}=0 para a equação
y''-k^{2}x^{2}y=0,
onde k é constante. As perguntas são:
  • encontrar a relação de recorrência;
  • obter os quatro primeiros termos (quando existirem) de duas soluções independentes y_{1} e y_{2};
  • calcular o Wronskiano W(y_{1},y_{2})(0) e mostrar que são soluções fundamentais;
  • se possível, encontrar o termo geral de cada solução.
Informações dadas:
  • equação linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em torno de x=0;
  • ponto de expansão x_{0}=0;
  • parâmetro k é constante (pode ser qualquer real ou complexo).

Passo 2

Método (breve aula): na técnica de séries de potência suponho uma solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
com coeficientes a_{n} a determinar. Então calculemos as derivadas:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}, \qquad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_{n} x^{n-2}.
Substituindo na equação diferencial, vou alinhar as potências de x para obter uma relação entre os a_n. A ideia é igualar coeficientes de cada potência x^{n} a zero; cada igualdade fornece uma relação (recorrência) entre coeficientes.

Passo 3

Substituição e mudança de índice:
Escrevo y'' com índice que comece em n=0:
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}.
Escrevo k^{2}x^{2}y alinhado em potências de x^{n}:
k^{2}x^{2}y=k^{2}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+2}=k^{2}\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^{n}.
Para juntar as somas uso a expressão de y'' (começa em n=0) e escrevo a segunda soma também como soma em n a partir de 0, lembrando que para n=0,1 a contribuição de k^{2}x^{2}y é nula (não há termo a_{-2},a_{-1}). A igualdade y''-k^{2}x^{2}y=0 fica então, ao comparar coeficientes de x^{n},
  • para n=0:
(0+2)(0+1)a_{2}=2a_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad a_{2}=0,
  • para n=1:
(1+2)(1+1)a_{3}=6a_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad a_{3}=0,
  • para n\ge 2:
(n+2)(n+1)a_{n+2}-k^{2}a_{n-2}=0,
ou seja, a relação de recorrência geral é
\boxed{\,a_{n+2}=\dfrac{k^{2}}{(n+2)(n+1)}\,a_{n-2}\quad\text{para }n\ge 2.}

Passo 4

Interpretação da recorrência (pedaço-a-pedaço, didático e com empatia):
  • A recorrência liga a_{n+2} com a_{n-2}. Isso significa que os coeficientes se acoplam com passo 4: coeficientes com índices que diferem em 4 relacionam-se.
  • Como encontramos a_{2}=a_{3}=0, ao aplicar a recorrência vemos que todos os coeficientes com índice congruente a 2 ou 3 módulo 4 serão zero: por exemplo a_{6} depende de a_{2}=0 e assim por diante. Portanto a série se divide naturalmente em dois ramos independentes:
    • o ramo par com potências x^{0},x^{4},x^{8},\dots (coeficientes a_{4m});
    • o ramo ímpar com potências x^{1},x^{5},x^{9},\dots (coeficientes a_{4m+1}).
  • Assim temos duas constantes livres: a_{0} e a_{1}. Essas escolhemos para obter as duas soluções independentes y_{1} (par) e y_{2} (ímpar).

Passo 5

Escolha das soluções fundamentais e cálculo dos primeiros coeficientes (passo a passo com contas):
  • Para y_{1} tomo a_{0}=1 e a_{1}=0.
    • Já temos a_{2}=0,\\ a_{3}=0.
    • Para n=2 a recorrência dá a_{4}=\dfrac{k^{2}}{4\cdot 3}a_{0}=\dfrac{k^{2}}{12}.
    • Para n=4 vem a_{6}=\dfrac{k^{2}}{6\cdot 5}a_{2}=0.
    • Para n=6 vem a_{8}=\dfrac{k^{2}}{8\cdot 7}a_{4}=\dfrac{k^{2}}{56}\cdot\dfrac{k^{2}}{12}=\dfrac{k^{4}}{672} (pois 56\cdot 12=672).
    • Para n=8 vem a_{10}=\dfrac{k^{2}}{10\cdot 9}a_{6}=0.
    • Para n=10 vem a_{12}=\dfrac{k^{2}}{12\cdot 11}a_{8}=\dfrac{k^{6}}{672\cdot 132}=\dfrac{k^{6}}{88704} (pois 672\cdot132=88704).
    • Assim os quatro primeiros termos não nulos de y_{1} correspondem às potências x^{0},x^{4},x^{8},x^{12}.
  • Para y_{2} tomo a_{0}=0 e a_{1}=1.
    • a_{2}=a_{3}=0.
    • Para n=3 a recorrência dá a_{5}=\dfrac{k^{2}}{5\cdot 4}a_{1}=\dfrac{k^{2}}{20}.
    • Para n=5 vem a_{7}=\dfrac{k^{2}}{7\cdot 6}a_{3}=0.
    • Para n=7 vem a_{9}=\dfrac{k^{2}}{9\cdot 8}a_{5}=\dfrac{k^{4}}{20\cdot 72}=\dfrac{k^{4}}{1440}.
    • Para n=9 vem a_{11}=0.
    • Para n=11 vem a_{13}=\dfrac{k^{2}}{13\cdot 12}a_{9}=\dfrac{k^{6}}{1440\cdot 156}=\dfrac{k^{6}}{224640}.
    • Assim os quatro primeiros termos não nulos de y_{2} correspondem às potências x^{1},x^{5},x^{9},x^{13}.

Passo 6

Escrevendo explicitamente as séries truncadas (os “quatro primeiros termos” pedidos):
Para y_{1} (escolhendo a_{0}=1):
y_{1}(x)=1+\frac{k^{2}}{12}x^{4}+\frac{k^{4}}{672}x^{8}+\frac{k^{6}}{88704}x^{12}+\cdots
Para y_{2} (escolhendo a_{1}=1):
y_{2}(x)=x+\frac{k^{2}}{20}x^{5}+\frac{k^{4}}{1440}x^{9}+\frac{k^{6}}{224640}x^{13}+\cdots
Vou comentar: essas séries continuam indefinidamente (são séries de potências inteiras), não terminam para k\neq 0.

Passo 7

Wronskiano em x_{0}=0 (mostrando independência linear):
  • Avaliando as séries em x=0:
    • y_{1}(0)=1, y_{1}'(x) tem apenas termos com potências ímpares (pois y_{1} é par), logo y_{1}'(0)=0.
    • y_{2}(0)=0, e y_{2}'(0)=a_{1}=1 (porque o coeficiente do termo x é a_{1}).
  • Logo o Wronskiano no ponto 0 é o determinante
W(y_{1},y_{2})(0)=\begin{vmatrix} y_{1}(0) & y_{2}(0) \\\ y_{1}'(0) & y_{2}'(0)\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{vmatrix}=1\neq 0.
Como o Wronskiano é não nulo em x_{0}=0, y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções (são linearmente independentes e geram o espaço de soluções).

Passo 8

Termo geral (forma fechada) — dedução e explicação:
  • A recorrência aplicada repetidas vezes para os índices do ramo par ( n=4m) dá, por iteração,
a_{4m} \;=\; a_{0}\,\dfrac{k^{2m}}{\prod_{j=1}^{m}\bigl(4j(4j-1)\bigr)} \quad\text{para }m\ge 1,
com a_{0} livre (e a_{0} dado ou escolhido).
  • Podemos reescrever o denominador separando o fator 4j:
\prod_{j=1}^{m}4j=4^{m}m!,
portanto
\boxed{\,a_{4m}=a_{0}\,\dfrac{k^{2m}}{4^{m}m!\,\displaystyle\prod_{j=1}^{m}(4j-1)}\,.}
  • Para o ramo ímpar ( n=4m+1) a iteração dá
a_{4m+1}=a_{1}\,\dfrac{k^{2m}}{\prod_{j=1}^{m}\bigl((4j+1)(4j)\bigr)} \quad\text{para }m\ge 1,
ou seja, usando \prod_{j=1}^{m}4j=4^{m}m!,
\boxed{\,a_{4m+1}=a_{1}\,\dfrac{k^{2m}}{4^{m}m!\,\displaystyle\prod_{j=1}^{m}(4j+1)}\,.}
Essas fórmulas fornecem o termo geral de cada ramo. (Se desejar, dá para manipular esses produtos em termos de funções Gamma ou fatorial duplo, conectando com funções especiais como as funções de parabolic cylinder, mas a forma em produto é suficiente para aplicar em prova manualmente.)

Passo 9

Resumo didático-final e incentivo rápido:
  • Em provas, o procedimento prático é: assumir y=\sum a_{n}x^{n}, igualar coeficientes, observar padrões de zeros (aqui surgem zeros em índices 2 e 3 e, por propagação, em toda classe n\equiv 2,3\pmod 4), obter dois ramos (par e ímpar), escolher a_{0} e a_{1} convenientemente para as soluções fundamentais e calcular alguns termos com a recorrência iterando manualmente. Você já viu aqui o padrão e a fórmula geral para os coeficientes. Vai dar certo na prova — respira, confia e pratica mais um exercício desses.

Resposta

Relação de recorrência: a_{n+2}=\dfrac{k^{2}}{(n+2)(n+1)}\,a_{n-2}\quad (n\ge 2).
Quatro primeiros termos de y_{1} (escolhendo a_{0}=1,\\ a_{1}=0):
y_{1}(x)=1+\frac{k^{2}}{12}x^{4}+\frac{k^{4}}{672}x^{8}+\frac{k^{6}}{88704}x^{12}+\cdots
Quatro primeiros termos de y_{2} (escolhendo a_{0}=0,\\ a_{1}=1):
y_{2}(x)=x+\frac{k^{2}}{20}x^{5}+\frac{k^{4}}{1440}x^{9}+\frac{k^{6}}{224640}x^{13}+\cdots
Wronskiano em x_{0}=0:
W(y_{1},y_{2})(0)=1\neq 0,
logo y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções.
Termo geral (formas em produto) para os coeficientes:
a_{4m}=a_{0}\,\dfrac{k^{2m}}{4^{m}m!\,\displaystyle\prod_{j=1}^{m}(4j-1)},\qquad a_{4m+1}=a_{1}\,\dfrac{k^{2m}}{4^{m}m!\,\displaystyle\prod_{j=1}^{m}(4j+1)}.

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