Uma lente convergente fornece de um objeto real uma imagem quatro vezes maior, projetada numa tela situada a 2 m do objeto. A posição da imagem e a distância focal são respectivamente;
A)
e
;
B)
;
C)
e
;
D)
e
E)
e
.
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações que vamos usar:\n
- Um objeto real e sua imagem projetada numa tela estão separados por
. Ou seja, a distância entre objeto e imagem é .\n - A imagem é quatro vezes maior que o objeto (isto é, o fator de ampliação linear tem módulo
).\n
As perguntas pedidas são: qual é a posição da imagem (distância da lente até a imagem) e qual é a distância focal da lente.
Passo 2
Definimos as incógnitas e as fórmulas que vamos usar:\n
- Seja
a distância objeto–lente (objeto à esquerda da lente) e a distância imagem–lente (imagem à direita da lente). Vamos trabalhar com os módulos dessas distâncias, ambos positivos.\n - A ampliação lateral
é dada por
onde o sinal menos indica que uma imagem real formada por uma lente convergente fica invertida em relação ao objeto. Aqui só precisamos do módulo da ampliação quando o enunciado diz “quatro vezes maior”.\n
- A equação das lentes delgadas é
onde
é a distância focal da lente.\n
Explicação didática rápida: a fórmula da ampliação vem da semelhança de triângulos traçados com os raios principais; a equação das lentes vem da aproximação geométrica para uma lente delgada relacionando curvaturas e posições dos objetos e imagens.
Explicação didática rápida: a fórmula da ampliação vem da semelhança de triângulos traçados com os raios principais; a equação das lentes vem da aproximação geométrica para uma lente delgada relacionando curvaturas e posições dos objetos e imagens.
Passo 3
Traduzimos a informação “imagem quatro vezes maior” em equação. Como a imagem real é invertida, a ampliação é negativa com módulo
, então
Isso implica, em módulo,
Passo 4
Usamos a condição de que a tela (imagem) está a
do objeto. A distância entre objeto e imagem é
, portanto
Substituindo
obtemos
Logo
E
Passo 5
Agora calculamos a distância focal
usando a equação das lentes:
Substituímos
e
:
Calculamos cada termo (explicando as contas):
porque
. E
porque
. Então
Tomando recíproco,
(Verificação mental:
, então está consistente.)
Passo 6
Resumo interpretativo: encontramos que a imagem está a
da lente (lado da imagem) e a lente tem distância focal
. Esses valores coincidem com a alternativa correta do item múltipla escolha.
Resposta
Posição da imagem:
\n
Distância focal:
Distância focal: