Uma lente convergente fornece de um objeto real uma imagem quatro vezes maior, projetada numa tela situada a 2 m do objeto. A posição da imagem e a distância focal são respectivamente;
A) 1,4 \mathrm{~m} e 0,18 \mathrm{~m};
B) 1,5 \mathrm{~m} \mathrm{e} 0,36 \mathrm{~m};
C) 1,6 \mathrm{~m} e 0,32 \mathrm{~m};
D) 1,7 \mathrm{~m} e 0,34 \mathrm{~m}
E) 1,8 \mathrm{~m} e 0,39 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações que vamos usar:\n
  • Um objeto real e sua imagem projetada numa tela estão separados por \,2\\ \mathrm{m}\,. Ou seja, a distância entre objeto e imagem é \,2\\ \mathrm{m}\,.\n
  • A imagem é quatro vezes maior que o objeto (isto é, o fator de ampliação linear tem módulo 4).\n
    As perguntas pedidas são: qual é a posição da imagem (distância da lente até a imagem) e qual é a distância focal da lente.

Passo 2

Definimos as incógnitas e as fórmulas que vamos usar:\n
  • Seja \,d_o a distância objeto–lente (objeto à esquerda da lente) e \,d_i a distância imagem–lente (imagem à direita da lente). Vamos trabalhar com os módulos dessas distâncias, ambos positivos.\n
  • A ampliação lateral m é dada por
m = -\frac{d_i}{d_o},
onde o sinal menos indica que uma imagem real formada por uma lente convergente fica invertida em relação ao objeto. Aqui só precisamos do módulo da ampliação quando o enunciado diz “quatro vezes maior”.\n
  • A equação das lentes delgadas é
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i},
onde \,f é a distância focal da lente.\n
Explicação didática rápida: a fórmula da ampliação vem da semelhança de triângulos traçados com os raios principais; a equação das lentes vem da aproximação geométrica para uma lente delgada relacionando curvaturas e posições dos objetos e imagens.

Passo 3

Traduzimos a informação “imagem quatro vezes maior” em equação. Como a imagem real é invertida, a ampliação é negativa com módulo 4, então
m = -4 = -\frac{d_i}{d_o}.
Isso implica, em módulo,
\frac{d_i}{d_o} = 4 \quad\Rightarrow\quad d_i = 4\,d_o.

Passo 4

Usamos a condição de que a tela (imagem) está a \,2\\ \mathrm{m} do objeto. A distância entre objeto e imagem é d_o + d_i, portanto
d_o + d_i = 2\\ \mathrm{m}.
Substituindo d_i = 4 d_o obtemos
d_o + 4d_o = 2 \quad\Rightarrow\quad 5d_o = 2.
Logo
d_o = \frac{2}{5}\\ \mathrm{m} = 0,4\\ \mathrm{m}.
E
d_i = 4d_o = 4\times 0,4\\ \mathrm{m} = 1,6\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora calculamos a distância focal f usando a equação das lentes:
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}.
Substituímos d_o=0,4\\ \mathrm{m} e d_i=1,6\\ \mathrm{m}:
\frac{1}{f} = \frac{1}{0,4} + \frac{1}{1,6}.
Calculamos cada termo (explicando as contas): \frac{1}{0,4}=2,5 porque 1\div 0,4 = 2{,}5. E \frac{1}{1,6}=0,625 porque 1\div 1{,}6 = 0{,}625. Então
\frac{1}{f} = 2{,}5 + 0{,}625 = 3{,}125.
Tomando recíproco,
f = \frac{1}{3{,}125} = 0{,}32\\ \mathrm{m}.
(Verificação mental: 3{,}125 \times 0{,}32 = 1, então está consistente.)

Passo 6

Resumo interpretativo: encontramos que a imagem está a 1,6\\ \mathrm{m} da lente (lado da imagem) e a lente tem distância focal 0,32\\ \mathrm{m}. Esses valores coincidem com a alternativa correta do item múltipla escolha.

Resposta

Posição da imagem: 1,6\\ \mathrm{m}\n
Distância focal: 0,32\\ \mathrm{m}

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