Com uma lente delgada projeta-se, numa tela situada a 100 cm uma da lente uma imagem real de uma vela com 5 cm de altura e colocada a 10 cm da lente. Podemos afirmar que o aumento linear transversal e o tamanho da imagem são respectivamente.
A) -11 e -20 cm;
B) 10 e 30 cm ;
C) -9 e -40 cm ;
D)
;
E)
.
A) -11 e -20 cm;
B) 10 e 30 cm ;
C) -9 e -40 cm ;
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Uma lente delgada forma, numa tela situada a
da lente, uma imagem real da vela. (Portanto a distância da imagem em relação à lente é .) - A vela (objeto) tem altura
. - A vela está colocada a
da lente. (Portanto a distância do objeto em relação à lente é .) - O enunciado pede: qual é o aumento linear transversal (ou simplesmente “aumento”
) e qual é o tamanho (altura) da imagem .
Esses são todos os dados relevantes que usaremos.
Passo 2
Vamos lembrar a relação fundamental para lentes delgadas, chamada equação dos fabricantes de lentes (equação dos focos):
onde:
-
é a distância focal da lente (positiva para lente convergente), -
é a distância do objeto à lente (convencionalmente positiva se o objeto estiver à esquerda da lente), -
é a distância da imagem à lente (positiva se a imagem for real e estiver do lado oposto ao objeto).
Essa fórmula vem da geometria dos raios e da aproximação de paraxial (raios próximos ao eixo). Aqui usaremos essa fórmula para checar/entender a lente e depois para achar o aumento.
Passo 3
Substituímos os valores dados em
para calcular a distância focal
(isso não é estritamente necessário para o aumento, mas ajuda a entender que tipo de lente é):
Calculemos passo a passo:
Logo:
Isso mostra que a lente é convergente (
), coerente com a formação de imagem real na tela.
Passo 4
Agora a fórmula do aumento linear transversal (ou simplesmente aumento) é:
onde:
-
é o aumento (sem unidade), -
é a altura da imagem (com sinal; negativo indica imagem invertida em relação ao objeto), -
é a altura do objeto (aqui ), - o sinal negativo na fórmula
indica que, para imagens reais formadas por lentes convergentes, a imagem costuma ficar invertida (sinal de negativo se for positivo).
A origem dessa fórmula vem de semelhança de triângulos traçados entre o eixo principal e os raios que passam pela lente.
Passo 5
Aplicamos a fórmula do aumento com os valores dados:
Interpretando: o aumento é
, ou seja, a imagem é invertida e tem dez vezes a altura do objeto.
Passo 6
Agora calculamos a altura da imagem usando
:
O resultado negativo significa que a imagem está invertida em relação ao objeto; numericamente a imagem tem
de altura, invertida.
Passo 7
Conferindo com as alternativas do enunciado, a resposta que corresponde a aumento
e tamanho da imagem
é a alternativa D.
Resposta
D)
e