Com uma lente delgada projeta-se, numa tela situada a 100 cm uma da lente uma imagem real de uma vela com 5 cm de altura e colocada a 10 cm da lente. Podemos afirmar que o aumento linear transversal e o tamanho da imagem são respectivamente.
A) -11 e -20 cm;
B) 10 e 30 cm ;
C) -9 e -40 cm ;
D) -10 \mathrm{e}-50 \mathrm{~cm};
E) -12 \mathrm{e}-60 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Uma lente delgada forma, numa tela situada a \,100\\ \mathrm{cm} da lente, uma imagem real da vela. (Portanto a distância da imagem em relação à lente é \,s' = 100\\ \mathrm{cm}.)
  • A vela (objeto) tem altura \,h_o = 5\\ \mathrm{cm}.
  • A vela está colocada a \,10\\ \mathrm{cm} da lente. (Portanto a distância do objeto em relação à lente é \,s = 10\\ \mathrm{cm}.)
  • O enunciado pede: qual é o aumento linear transversal (ou simplesmente “aumento” m) e qual é o tamanho (altura) da imagem h_i.
Esses são todos os dados relevantes que usaremos.

Passo 2

Vamos lembrar a relação fundamental para lentes delgadas, chamada equação dos fabricantes de lentes (equação dos focos):
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'},
onde:
  • \,f é a distância focal da lente (positiva para lente convergente),
  • \,s é a distância do objeto à lente (convencionalmente positiva se o objeto estiver à esquerda da lente),
  • \,s' é a distância da imagem à lente (positiva se a imagem for real e estiver do lado oposto ao objeto).
Essa fórmula vem da geometria dos raios e da aproximação de paraxial (raios próximos ao eixo). Aqui usaremos essa fórmula para checar/entender a lente e depois para achar o aumento.

Passo 3

Substituímos os valores dados em \frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'} para calcular a distância focal \,f (isso não é estritamente necessário para o aumento, mas ajuda a entender que tipo de lente é):
\frac{1}{f}=\frac{1}{10\\ \mathrm{cm}}+\frac{1}{100\\ \mathrm{cm}}.
Calculemos passo a passo:
\frac{1}{10}=\frac{10}{100},\qquad \frac{1}{100}=\frac{1}{100},
\frac{1}{f}=\frac{10}{100}+\frac{1}{100}=\frac{11}{100}.
Logo:
f=\frac{100}{11}\\ \mathrm{cm}\approx 9{,}09\\ \mathrm{cm}.
Isso mostra que a lente é convergente ( f>0), coerente com a formação de imagem real na tela.

Passo 4

Agora a fórmula do aumento linear transversal (ou simplesmente aumento) é:
m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{s'}{s},
onde:
  • \,m é o aumento (sem unidade),
  • \,h_i é a altura da imagem (com sinal; negativo indica imagem invertida em relação ao objeto),
  • \,h_o é a altura do objeto (aqui \,h_o=5\\ \mathrm{cm}),
  • o sinal negativo na fórmula -\dfrac{s'}{s} indica que, para imagens reais formadas por lentes convergentes, a imagem costuma ficar invertida (sinal de h_i negativo se h_o for positivo).
A origem dessa fórmula vem de semelhança de triângulos traçados entre o eixo principal e os raios que passam pela lente.

Passo 5

Aplicamos a fórmula do aumento com os valores dados:
m=-\frac{s'}{s}=-\frac{100\\ \mathrm{cm}}{10\\ \mathrm{cm}}=-10.
Interpretando: o aumento é -10, ou seja, a imagem é invertida e tem dez vezes a altura do objeto.

Passo 6

Agora calculamos a altura da imagem usando \,h_i=m\,h_o:
h_i = m\;h_o = (-10)\times(5\\ \mathrm{cm})=-50\\ \mathrm{cm}.
O resultado negativo significa que a imagem está invertida em relação ao objeto; numericamente a imagem tem \,50\\ \mathrm{cm} de altura, invertida.

Passo 7

Conferindo com as alternativas do enunciado, a resposta que corresponde a aumento -10 e tamanho da imagem -50\\ \mathrm{cm} é a alternativa D.

Resposta

D) -10 e -50\\ \mathrm{cm}

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