Uma lente convergente de 3,0 \mathrm{~cm} de diâmetro tem uma distância focal de 20,0 \mathrm{~cm}. Que separação angular devem ter os dois objetos puntiformes distantes de forma a satisfazerem a relação de Rayleigh? Suponha \lambda=550 \mathrm{~nm}.

Passo 1

O enunciado dá uma lente convergente e pede a separação angular mínima entre dois objetos puntiformes distantes para satisfazerem a relação de Rayleigh. Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
D=3{,}0\\ \mathrm{cm},\qquad f=20{,}0\\ \mathrm{cm},\qquad \lambda=550\\ \mathrm{nm}.
Pergunta: qual deve ser a separação angular \theta entre os dois objetos distantes para que eles sejam apenas resolvíveis segundo o critério de Rayleigh?

Passo 2

O que é o critério de Rayleigh (explicação didática): quando uma abertura circular (como a face da lente) forma uma imagem de uma fonte pontual ela produz um padrão chamado disco de Airy. Esse padrão tem um pico central e anéis de luz ao redor. O critério de Rayleigh diz que dois pontos distantes são “resolvíveis” quando o máximo do disco de Airy de um coincide com o primeiro mínimo (primeiro anel escuro) do outro. Para uma abertura circular, essa condição leva à fórmula aproximada
\theta_{\text{Rayleigh}} \approx 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}.
Explicando cada símbolo:
  • \theta_{\text{Rayleigh}} é a separação angular mínima (em radianos) entre os dois objetos no céu (ou a fonte distante).
  • \lambda é o comprimento de onda da luz usada (aqui 550\\ \mathrm{nm}).
  • D é o diâmetro efetivo da abertura circular (aqui 3{,}0\\ \mathrm{cm}).
    O fator 1{,}22 vem da teoria da difração (posição do primeiro zero da função de Bessel que descreve o padrão de Airy). Não precisamos provar isso agora; basta saber que a fórmula é a que se usa para aberturas circulares.

Passo 3

Preparação das unidades (sempre converter para unidades do SI para calcular):
D=3{,}0\\ \mathrm{cm}=3{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}, \qquad \lambda=550\\ \mathrm{nm}=550\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=5{,}50\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Rayleigh:
\theta=1{,}22\frac{\lambda}{D}.
Calcule o numerador:
1{,}22\lambda=1{,}22\times5{,}50\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=6{,}71\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Agora divida por D:
\theta=\frac{6{,}71\times10^{-7}}{3{,}0\times10^{-2}}=2{,}2367\times10^{-5}\\ \mathrm{rad}.
Arredondando sensivelmente (dados com 2–3 algarismos significativos):
\theta\approx2{,}24\times10^{-5}\\ \mathrm{rad}.

Passo 5

Converter para unidades mais intuitivas (arcsegundos e graus) se quiser visualizar melhor. Sabendo que 1\\ \mathrm{rad}=206265 arcsegundos:
\theta_{\text{arcsec}}=\theta\times206265\approx2{,}2367\times10^{-5}\times206265\approx4{,}61\\ \text{arcsec}.
Em graus:
\theta_{\text{deg}}=\theta\times\frac{180}{\pi}\approx2{,}2367\times10^{-5}\times57{,}2958\approx0{,}00128^\circ.

Passo 6

Comentário prático extra (útil na prova): para objetos efetivamente à distância (imagem no plano focal), a separação linear entre os centros das imagens no plano focal é
s=f\theta.
Com f=20{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m}:
s\approx0{,}20\times2{,}2367\times10^{-5}=4{,}47\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=4{,}47\\ \mu\mathrm{m}.
Isso significa que, no plano focal, os dois pontos estariam separados por cerca de 4{,}5\\ \mu\mathrm{m} quando na condição de Rayleigh.

Resposta

\theta\approx2{,}24\times10^{-5}\\ \mathrm{rad}
\theta\approx4{,}61\\ \mathrm{arcsec}

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