Uma lente convergente de
de diâmetro tem uma distância focal de
. Que separação angular devem ter os dois objetos puntiformes distantes de forma a satisfazerem a relação de Rayleigh? Suponha
.
Passo 1
O enunciado dá uma lente convergente e pede a separação angular mínima entre dois objetos puntiformes distantes para satisfazerem a relação de Rayleigh. Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
Pergunta: qual deve ser a separação angular
entre os dois objetos distantes para que eles sejam apenas resolvíveis segundo o critério de Rayleigh?
Passo 2
O que é o critério de Rayleigh (explicação didática): quando uma abertura circular (como a face da lente) forma uma imagem de uma fonte pontual ela produz um padrão chamado disco de Airy. Esse padrão tem um pico central e anéis de luz ao redor. O critério de Rayleigh diz que dois pontos distantes são “resolvíveis” quando o máximo do disco de Airy de um coincide com o primeiro mínimo (primeiro anel escuro) do outro. Para uma abertura circular, essa condição leva à fórmula aproximada
Explicando cada símbolo:
-
é a separação angular mínima (em radianos) entre os dois objetos no céu (ou a fonte distante). -
é o comprimento de onda da luz usada (aqui ). -
é o diâmetro efetivo da abertura circular (aqui ).
O fatorvem da teoria da difração (posição do primeiro zero da função de Bessel que descreve o padrão de Airy). Não precisamos provar isso agora; basta saber que a fórmula é a que se usa para aberturas circulares.
Passo 3
Preparação das unidades (sempre converter para unidades do SI para calcular):
Passo 4
Aplicando a fórmula de Rayleigh:
Calcule o numerador:
Agora divida por
:
Arredondando sensivelmente (dados com 2–3 algarismos significativos):
Passo 5
Converter para unidades mais intuitivas (arcsegundos e graus) se quiser visualizar melhor. Sabendo que
arcsegundos:
Em graus:
Passo 6
Comentário prático extra (útil na prova): para objetos efetivamente à distância (imagem no plano focal), a separação linear entre os centros das imagens no plano focal é
Com
:
Isso significa que, no plano focal, os dois pontos estariam separados por cerca de
quando na condição de Rayleigh.