A figura mostra um pêndulo que pode se mover livremente no plano vertical. Uma bala de massa
e velocidade
atinge o bloco de massa
e fica presa nele (sem alterar as suas massas). O bloco é suspenso por um fio flexível, sem massa e inestensível, de comprimento
. Determinar qual é a menor velocidade que a bala pode ter para que o pêndulo consiga dar uma volta completa na vertical após o choque.
Expresse seu resultado em termos de
e
.
Expresse seu resultado em termos de
Passo 1
O enunciado pede a menor velocidade inicial da bala para que, após ficar presa no bloco, o conjunto consiga dar uma volta completa no plano vertical. Dados fornecidos:
- massa da bala:
; - velocidade inicial da bala (antes do choque):
(é o que queremos achar, o mínimo); - massa do bloco:
; - comprimento do fio:
; - aceleração da gravidade:
.
Condições do problema descritas: a bala atinge o bloco que está suspenso pelo fio, fica presa nele (choque perfeitamente inelástico) e, após o choque, o sistema (massa total) inicia o movimento. Precisamos relacionar o choque com o movimento circular subsequente e achar o menor que permite completar a volta.
Passo 2
Analisando o choque: é praticamente instantâneo. No instante do impacto o bloco estava em repouso no ponto mais baixo, e o fio naquele instante é vertical. A força do fio é vertical, então durante o choque não há impulso horizontal externo significativo. Portanto, a componente horizontal do momento linear se conserva no choque. Escrevendo conservação do momento linear horizontal:
onde
é a velocidade do conjunto (bala+bloco) imediatamente após o choque. Resolvo para
:
Passo 3
Agora tratamos do movimento após o choque: entre o instante logo após o choque (no ponto mais baixo) e o instante em que o conjunto chega ao ponto mais alto da trajetória circular, as únicas forças que realizam trabalho são conservativas (gravidade). Assim, a energia mecânica (cinética + potencial gravitacional) é conservada nesse trecho. Escrevo a conservação de energia entre o fundo (velocidade
) e o topo (velocidade
):
onde
é a variação de altura do centro de massa do conjunto entre fundo e topo. Como o pêndulo descreve um arco completo, a diferença de altura entre fundo e topo é
. Cancelando o fator comum
obtemos:
Passo 4
Para que o pêndulo consiga dar a volta completa, é necessário que no ponto mais alto haja força centrípeta suficiente para manter o movimento circular sem que o fio fique frouxo. A força centrípeta requerida no topo é
. As forças verticais atuantes no topo são o peso
para baixo e a tensão do fio
(que pode ser nula no caso limite). No caso limite mínimo para completar a volta, a tensão no topo pode ser zero (
); então o peso sozinho fornece a centripeta necessária. Assim,
Cancelando
chega-se a
ou
Passo 5
Substituo
na equação de conservação de energia do Passo 3:
Calculo o lado direito:
Logo
portanto
Passo 6
Volto à relação entre
(velocidade da bala antes do choque) e
(velocidade do conjunto após o choque) obtida pelo impulso de momento:
Isolando
e substituindo
, obtenho:
Passo 7
Interpretação física rápida e encorajamento: a expressão mostra que, quanto menor a massa da bala em relação ao bloco, maior deve ser sua velocidade para transferir energia suficiente ao sistema. Respira fundo — a conta não era tão má, e agora você tem a fórmula pronta para a prova!