A figura mostra um pêndulo que pode se mover livremente no plano vertical. Uma bala de massa m e velocidade v atinge o bloco de massa M e fica presa nele (sem alterar as suas massas). O bloco é suspenso por um fio flexível, sem massa e inestensível, de comprimento L. Determinar qual é a menor velocidade que a bala pode ter para que o pêndulo consiga dar uma volta completa na vertical após o choque.
Expresse seu resultado em termos de m, M, L e g.

Passo 1

O enunciado pede a menor velocidade inicial da bala para que, após ficar presa no bloco, o conjunto consiga dar uma volta completa no plano vertical. Dados fornecidos:
  • massa da bala: m;
  • velocidade inicial da bala (antes do choque): v (é o que queremos achar, o mínimo);
  • massa do bloco: M;
  • comprimento do fio: L;
  • aceleração da gravidade: g.
    Condições do problema descritas: a bala atinge o bloco que está suspenso pelo fio, fica presa nele (choque perfeitamente inelástico) e, após o choque, o sistema (massa total m+M) inicia o movimento. Precisamos relacionar o choque com o movimento circular subsequente e achar o menor v que permite completar a volta.

Passo 2

Analisando o choque: é praticamente instantâneo. No instante do impacto o bloco estava em repouso no ponto mais baixo, e o fio naquele instante é vertical. A força do fio é vertical, então durante o choque não há impulso horizontal externo significativo. Portanto, a componente horizontal do momento linear se conserva no choque. Escrevendo conservação do momento linear horizontal:
m v = (m+M) v_0,
onde v_0 é a velocidade do conjunto (bala+bloco) imediatamente após o choque. Resolvo para v_0:
v_0 = \frac{m}{m+M}\,v.

Passo 3

Agora tratamos do movimento após o choque: entre o instante logo após o choque (no ponto mais baixo) e o instante em que o conjunto chega ao ponto mais alto da trajetória circular, as únicas forças que realizam trabalho são conservativas (gravidade). Assim, a energia mecânica (cinética + potencial gravitacional) é conservada nesse trecho. Escrevo a conservação de energia entre o fundo (velocidade v_0) e o topo (velocidade v_{\text{top}}):
\frac{1}{2}(m+M)v_0^2 = \frac{1}{2}(m+M)v_{\text{top}}^2 + (m+M)g\Delta h,
onde \Delta h é a variação de altura do centro de massa do conjunto entre fundo e topo. Como o pêndulo descreve um arco completo, a diferença de altura entre fundo e topo é \Delta h=2L. Cancelando o fator comum (m+M) obtemos:
\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}v_{\text{top}}^2 + 2gL.

Passo 4

Para que o pêndulo consiga dar a volta completa, é necessário que no ponto mais alto haja força centrípeta suficiente para manter o movimento circular sem que o fio fique frouxo. A força centrípeta requerida no topo é (m+M)\dfrac{v_{\text{top}}^2}{L}. As forças verticais atuantes no topo são o peso (m+M)g para baixo e a tensão do fio T (que pode ser nula no caso limite). No caso limite mínimo para completar a volta, a tensão no topo pode ser zero ( T=0); então o peso sozinho fornece a centripeta necessária. Assim,
(m+M)\frac{v_{\text{top}}^2}{L} = (m+M)g.
Cancelando (m+M) chega-se a
v_{\text{top}}^2 = gL,
ou
v_{\text{top}} = \sqrt{gL}.

Passo 5

Substituo v_{\text{top}}^2=gL na equação de conservação de energia do Passo 3:
\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}gL + 2gL.
Calculo o lado direito:
\frac{1}{2}gL + 2gL = \left(\frac{1}{2}+2\right)gL = \frac{5}{2}gL.
Logo
\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{5}{2}gL \quad\Rightarrow\quad v_0^2 = 5gL,
portanto
v_0=\sqrt{5gL}.

Passo 6

Volto à relação entre v (velocidade da bala antes do choque) e v_0 (velocidade do conjunto após o choque) obtida pelo impulso de momento:
v_0 = \frac{m}{m+M}\,v.
Isolando v e substituindo v_0=\sqrt{5gL}, obtenho:
v = \frac{m+M}{m}\,v_0 = \frac{m+M}{m}\sqrt{5gL}.

Passo 7

Interpretação física rápida e encorajamento: a expressão mostra que, quanto menor a massa da bala em relação ao bloco, maior deve ser sua velocidade para transferir energia suficiente ao sistema. Respira fundo — a conta não era tão má, e agora você tem a fórmula pronta para a prova!

Resposta

v_{\min}=\frac{m+M}{m}\sqrt{5gL}

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