Uma lente delgada de vidro biconvexa, com índice de refração n=1,5 possul raios de curvatura R_{1} e R_{2} cujos valores absolutos são 10 cm e 15 cm , respectivamente. A lente está imersa no ar ( \mathrm{n}_{\mathrm{ar}}=1,0 ).
(a) Determine a distância focal e a potência dessa lente no ar;
(b) Calcule a posição e a altura da imagem formada, se um objeto de 1,2 \mathrm{~cm} de altura é colocado a 4,0 \mathrm{~cm} da lente dessa lente biconvexa.

Passo 1

O enunciado dá uma lente delgada biconvexa de vidro imersa no ar com índice de refração \,n=1,5.\n
Os raios de curvatura têm valores absolutos \,|R_{1}|=10\\ \text{cm} e \,|R_{2}|=15\\ \text{cm}.\n
A lente está no ar, então o índice do meio envolvente é \,n_{\text{ar}}=1,0.\n
Perguntas pedidas:\n
(a) Determine a distância focal e a potência da lente no ar.\n
(b) Um objeto de altura \,1,2\\ \text{cm} é colocado a \,4,0\\ \text{cm} da lente. Calcule a posição e a altura da imagem formada.\n
Observação sobre sinais (informação relevante que vem do enunciado biconvexa): como a lente é biconvexa, a superfície da esquerda é convexa para a direita e a superfície da direita é convexa para a esquerda; usaremos a convenção de sinais usual para lentes, que será explicada no próximo passo.

Passo 2

Explicação da fórmula que vamos usar (aula rápida e sem pulo de etapas).\n
Para lentes delgadas em um meio de índice \,n_{\text{médio}}é a fórmula do fabricante (fórmula do fabricante / lente delgada) que relaciona os raios de curvatura \,R_{1},R_{2}, o índice da lente \,n e a distância focal \,f é:\n
\frac{1}{f}=\left(\frac{n}{n_{\text{médio}}}-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right).é\n
O que cada símbolo significa:\n
  • \,f é a distância focal da lente (positiva para lente convergente).\n
  • \,n é o índice de refração do material da lente (aqui vidro: \,1,5).\n
  • \,n_{\text{médio}}é é o índice do meio onde a lente está (aqui ar: \,1,0).\n
  • \,R_{1} é o raio de curvatura da primeira face (a face onde a luz incide). \,R_{1} é positivo se o centro de curvatura estiver à direita da superfície (convenção usual: origem na superfície, eixo direcionado para a direita).\n
  • \,R_{2} é o raio da segunda face; será negativo se seu centro de curvatura estiver à esquerda.\n
    Como a lente é biconvexa e a luz incide da esquerda para a direita, adotamos:\n
    \,R_{1}=+10\\ \text{cm} (convexo, centro à direita) e \,R_{2}=-15\\ \text{cm} (convexo voltado para a esquerda, centro à esquerda). Essa escolha de sinais é padrão e importante para o cálculo correto.

Passo 3

Aplicando a fórmula da lente fino com os valores dados.\n
Primeiro calculemos \,\dfrac{n}{n_{\text{médio}}}-1é.\n
\frac{n}{n_{\text{médio}}}-1=\frac{1,5}{1,0}-1=1,5-1=\frac{1}{2}.é\n
Agora calculemos \,\dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{R_{2}} com \,R_{1}=+10\\ \text{cm} e \,R_{2}=-15\\ \text{cm}:\n
\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}=\frac{1}{10}-\frac{1}{-15}=\frac{1}{10}+\frac{1}{15}.\n
Fazendo a soma com denominador comum 30:\n
\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}.\n
Agora substituímos na fórmula:\n
\frac{1}{f}=\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{12}.\n
Logo a distância focal em centímetros é\n
f=12\\ \text{cm}.

Passo 4

Cálculo da potência ótica da lente (explicando o que é potência).\n
A potência \,P de uma lente é definida como o inverso da distância focal em metros:\n
P=\frac{1}{f\\ (\text{m})},\n
medida em dioptrias (D). Convertendo \,f=12\\ \text{cm} para metros temos \,f=0,12\\ \text{m}. Então\n
P=\frac{1}{0,12}\\ \text{D}=\frac{1}{0,12}\approx 8,333\ldots\\ \text{D}.\n
Usamos vírgula para a separação decimal conforme o solicitado, então \,P\approx 8,33\\ \text{D}.

Passo 5

Agora resolvemos a parte (b): posição da imagem usando a equação de lentes delgadas.\n
A equação de lentes delgadas (equação dos pontos conjugados) é:\n
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'},\n
onde:\n
  • \,s é a distância do objeto à lente (positiva se o objeto estiver à esquerda da lente, convém aqui),\n
  • \,s' é a distância da imagem à lente (será positiva se a imagem estiver à direita da lente e negativa se estiver à esquerda).\n
    Dados do enunciado: \,s=4,0\\ \text{cm} e já encontramos \,f=12\\ \text{cm}.\n
    Rearranjando para \,s':\n
\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s}.

Passo 6

Cálculo numérico de \,s'.\n
\frac{1}{s'}=\frac{1}{12}-\frac{1}{4}.\n
Colocando com denominador comum 12:\n
\frac{1}{12}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}-\frac{3}{12}=-\frac{2}{12}=-\frac{1}{6}.\n
Portanto\n
\frac{1}{s'}=-\frac{1}{6}\quad\Rightarrow\quad s'=-6\\ \text{cm}.\n
Interpretação do sinal: \,s'=-6\\ \text{cm} significa que a imagem é virtual e está localizada do mesmo lado do objeto (lado esquerdo da lente), a \,6,0\\ \text{cm} da lente.

Passo 7

Cálculo da altura da imagem e interpretação do sinal (magnificação).\n
A magnificação linear \,m da lente é dada por\n
m=-\frac{s'}{s}.\n
Substituindo \,s'=-6\\ \text{cm} e \,s=4,0\\ \text{cm}:\n
m=-\frac{-6}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1,5.\n
Significado de \,m: como \,m>0, a imagem é direita (não invertida) em relação ao objeto; o valor \,1,5 diz que a imagem é 1,5 vezes maior que o objeto.\n
Dados: altura do objeto \,h_{o}=1,2\\ \text{cm}. A altura da imagem \,h_{i} é\n
h_{i}=m\,h_{o}=1,5\times 1,2\\ \text{cm}=1,8\\ \text{cm}.

Passo 8

Resumo físico e check final (um empurrãozinho de ânimo): a lente é convergente com \,f>0, mas porque o objeto está muito perto ( 4,0\\ \text{cm} < f=12\\ \text{cm}) a imagem fica virtual, à esquerda, maior e direita — típico de lupa. Você conseguiu entender passo a passo; respira, revisa estes cálculos e repete um exemplo parecido que eu te mostro depois, se quiser.

Resposta

(a) \,f=12\\ \text{cm}; \,P\approx 8,33\\ \text{D}.\n
(b) posição da imagem: \,s'=-6,0\\ \text{cm} (imagem virtual, \,6,0\\ \text{cm} à esquerda da lente); altura da imagem: \,h_{i}=1,8\\ \text{cm} (imagem direita, ampliada).

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