Uma lente esférica de vidro, delgada, côncava-convexa, imersa no ar, tem raio da superfície côncava igual a 20 cm e o da superfície convexa igual a 40 cm , Sendo o índice de refração do vidro em relação ao ar igual a 1,5, podemos afirmar que a sua vergência e a sua distância focal são respectivamente:
A) 1,25 di e 0,7 \mathrm{~m};
B) 1,26 di e 0,8 \mathrm{~m};
C) -1,25 di e 0,7 \mathrm{~m};
D) -1,25 di e 0,8 \mathrm{~m};
E) -1,25 di e 0,9 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
  • Dados:
    • A lente é delgada, côncava-convexa (uma face côncava e a outra convexa).
    • Raio da superfície côncava: 20\\ \text{cm}.
    • Raio da superfície convexa: 40\\ \text{cm}.
    • Índice de refração do vidro em relação ao ar: n=1,5.
  • Pergunta: determinar a vergência (potência) da lente e a sua distância focal (comprimento focal), e escolher a alternativa correta entre as opções fornecidas.
Observação importante: os raios foram fornecidos como magnitudes 20\\ \text{cm} e 40\\ \text{cm}. A tarefa é calcular P (em dioptrias) e f (em metros).

Passo 2

Apresento a fórmula que vamos usar (fórmula do fabricante de lentes, para lente delgada imersa no ar):
\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right).
Explicando cada símbolo:
  • \displaystyle f é a distância focal da lente (em metros).
  • n é o índice de refração do material da lente em relação ao meio externo (aqui n=1,5).
  • R_1 é o raio de curvatura da primeira superfície que a luz encontra.
  • R_2 é o raio de curvatura da segunda superfície que a luz encontra.
    A unidade de 1/f é dioptria; a vergência P é definida por
P=\frac{1}{f}\quad\text{(em dioptrias, }\mathrm{di}\text{)}.

Passo 3

Regra de sinais (explicação didática e prática): adotamos a convenção padrão conveniente aqui:
  • Escolhemos o eixo da esquerda para a direita.
  • Para cada superfície, o seu raio R é positivo se o centro de curvatura estiver à direita da superfície, e negativo se o centro de curvatura estiver à esquerda da superfície.
    Podemos escolher a orientação do feixe incidente para simplificar os sinais; isso não afeta o resultado físico se aplicado corretamente. Vou escolher que a luz incide pela face convexa primeiro (ou seja, a face convexa é a primeira superfície que a luz encontra). Com isso:
  • A face convexa tem raio de magnitude 40\\ \text{cm}. Como escolhemos a luz vindo pelo lado convexa e o centro de curvatura dessa face fica do lado oposto ao sentido da entrada (isto é, para a esquerda), então R_1=-0{,}40\\ \mathrm{m}.
  • A face seguinte (a côncava) tem raio de magnitude 20\\ \text{cm}. O centro de curvatura dessa face também fica à esquerda (mesmo lado), então R_2=-0{,}20\\ \mathrm{m}.
    (Se preferir uma intuição: ambos os centros de curvatura ficam do mesmo lado em relação às superfícies, portanto ambos os R ficam negativos na nossa convenção; o importante é usar a convenção de sinais de forma consistente.)

Passo 4

Convertemos os raios para metros e anotamos n-1:
R_1=-0{,}40\\ \mathrm{m},\qquad R_2=-0{,}20\\ \mathrm{m}, \qquad n-1=1{,}5-1=0{,}5.

Passo 5

Aplicamos a fórmula:
\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) =0{,}5\left(\frac{1}{-0{,}40}-\frac{1}{-0{,}20}\right).
Agora calculamos os recíprocos com cuidado:
\frac{1}{-0{,}40}=-2{,}5,\qquad \frac{1}{-0{,}20}=-5.
Substituindo:
\frac{1}{f}=0{,}5\big(-2{,}5-(-5)\big)=0{,}5\big(-2{,}5+5\big)=0{,}5\cdot 2{,}5=1{,}25.

Passo 6

Interpretando o resultado:
\frac{1}{f}=1{,}25\quad\Rightarrow\quad f=\frac{1}{1{,}25}=0{,}8\\ \mathrm{m}.
A vergência (potência) é simplesmente
P=\frac{1}{f}=1{,}25\\ \text{di}.
Explicação rápida de unidades: 1 dioptria é 1/\mathrm{m}. Como obtivemos 1{,}25 em \mathrm{m}^{-1}, isto é 1{,}25\\ \mathrm{di}.

Passo 7

Verificação e comparação com as alternativas:
  • Calculamos P=1{,}25\\ \mathrm{di} e f=0{,}8\\ \mathrm{m}.
  • Das alternativas dadas, a que tem distância focal 0{,}8\\ \mathrm{m} é a alternativa (B). Nessa alternativa a vergência aparece como 1{,}26\\ \mathrm{di} (arredondamento numérico); nosso valor exato 1{,}25\\ \mathrm{di} coincide dentro do arredondamento com 1{,}26\\ \mathrm{di}.
Vou reforçar a intuição final: a lente é uma menisco que, conforme os raios fornecidos e o índice 1{,}5, resulta numa lente levemente convergente (potência positiva) com foco a 0{,}8\\ \mathrm{m}.

Resposta

B) 1,25\\ \text{di} e 0,8\\ \mathrm{m}

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