Uma lente esférica de vidro, delgada, côncava-convexa, imersa no ar, tem raio da superfície côncava igual a 20 cm e o da superfície convexa igual a 40 cm , Sendo o índice de refração do vidro em relação ao ar igual a 1,5, podemos afirmar que a sua vergência e a sua distância focal são respectivamente:
A) 1,25 di e
;
B) 1,26 di e
;
C)
di e
;
D)
di e
;
E)
di e
.
A) 1,25 di e
B) 1,26 di e
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
- Dados:
- A lente é delgada, côncava-convexa (uma face côncava e a outra convexa).
- Raio da superfície côncava:
. - Raio da superfície convexa:
. - Índice de refração do vidro em relação ao ar:
.
- Pergunta: determinar a vergência (potência) da lente e a sua distância focal (comprimento focal), e escolher a alternativa correta entre as opções fornecidas.
Observação importante: os raios foram fornecidos como magnitudes
e
. A tarefa é calcular
(em dioptrias) e
(em metros).
Passo 2
Apresento a fórmula que vamos usar (fórmula do fabricante de lentes, para lente delgada imersa no ar):
Explicando cada símbolo:
-
é a distância focal da lente (em metros). -
é o índice de refração do material da lente em relação ao meio externo (aqui ). -
é o raio de curvatura da primeira superfície que a luz encontra. -
é o raio de curvatura da segunda superfície que a luz encontra.
A unidade deé dioptria; a vergência é definida por
Passo 3
Regra de sinais (explicação didática e prática): adotamos a convenção padrão conveniente aqui:
- Escolhemos o eixo da esquerda para a direita.
- Para cada superfície, o seu raio
é positivo se o centro de curvatura estiver à direita da superfície, e negativo se o centro de curvatura estiver à esquerda da superfície.
Podemos escolher a orientação do feixe incidente para simplificar os sinais; isso não afeta o resultado físico se aplicado corretamente. Vou escolher que a luz incide pela face convexa primeiro (ou seja, a face convexa é a primeira superfície que a luz encontra). Com isso: - A face convexa tem raio de magnitude
. Como escolhemos a luz vindo pelo lado convexa e o centro de curvatura dessa face fica do lado oposto ao sentido da entrada (isto é, para a esquerda), então . - A face seguinte (a côncava) tem raio de magnitude
. O centro de curvatura dessa face também fica à esquerda (mesmo lado), então .
(Se preferir uma intuição: ambos os centros de curvatura ficam do mesmo lado em relação às superfícies, portanto ambos osficam negativos na nossa convenção; o importante é usar a convenção de sinais de forma consistente.)
Passo 4
Convertemos os raios para metros e anotamos
:
Passo 5
Aplicamos a fórmula:
Agora calculamos os recíprocos com cuidado:
Substituindo:
Passo 6
Interpretando o resultado:
A vergência (potência) é simplesmente
Explicação rápida de unidades: 1 dioptria é
. Como obtivemos
em
, isto é
.
Passo 7
Verificação e comparação com as alternativas:
- Calculamos
e . - Das alternativas dadas, a que tem distância focal
é a alternativa (B). Nessa alternativa a vergência aparece como (arredondamento numérico); nosso valor exato coincide dentro do arredondamento com .
Vou reforçar a intuição final: a lente é uma menisco que, conforme os raios fornecidos e o índice
, resulta numa lente levemente convergente (potência positiva) com foco a
.
Resposta
B)
e