Uma lente no ar tem distância focal de 90 mm (índice de refração
). Na água tem a distância focal de 270 mm ( índice de refração
). Qual o índice de refração do material de lente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para descobrir o índice de refração do material de uma lente. Sabemos que essa lente tem uma distância focal de 90 mm no ar (onde o índice de refração é
) e de 270 mm na água (com índice de refração
). Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do fabricante de lentes que relaciona a distância focal com os índices de refração e as curvaturas da lente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula do fabricante de lentes:
Aqui,
é a distância focal,
é o índice de refração da lente,
é o índice de refração do meio ao redor da lente (ar ou água), e
e
são os raios de curvatura das superfícies da lente.
Passo 3
Como a lente é a mesma em ambos os casos (ar e água), os raios de curvatura
e
não mudam. Vamos chamar a expressão
de
para simplificar. Assim, temos duas equações:
No ar:
Na água:
Passo 4
Agora, vamos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar
:
Simplificando o lado esquerdo:
Então:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados pelo denominador:
Distribuindo o 3:
Multiplicando todos os termos por 1,33 para eliminar a fração:
Calculando:
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Subtraia
de ambos os lados:
Simplificando:
Adicione 3,99 a ambos os lados:
Passo 7
Finalmente, divida ambos os lados por 1,67 para encontrar
:
Resposta
O índice de refração do material da lente é aproximadamente 1,59.