Uma lente no ar tem distância focal de 90 mm (índice de refração nar=1 ). Na água tem a distância focal de 270 mm ( índice de refração n agua =1,33 ). Qual o índice de refração do material de lente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para descobrir o índice de refração do material de uma lente. Sabemos que essa lente tem uma distância focal de 90 mm no ar (onde o índice de refração é nar = 1) e de 270 mm na água (com índice de refração nágua = 1,33á). Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do fabricante de lentes que relaciona a distância focal com os índices de refração e as curvaturas da lente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do fabricante de lentes:
1f = ( n<=ntenmeio - 1 ) ( 1R1 - 1R2 )
Aqui, f é a distância focal, n<=nte é o índice de refração da lente, nmeio é o índice de refração do meio ao redor da lente (ar ou água), e R1 e R2 são os raios de curvatura das superfícies da lente.

Passo 3

Como a lente é a mesma em ambos os casos (ar e água), os raios de curvatura R1 e R2 não mudam. Vamos chamar a expressão ( 1R1 - 1R2 ) de C para simplificar. Assim, temos duas equações:
No ar:
190 = ( n<=nte - 1 ) C
Na água:
1270 = ( n<=nte1,33 - 1 ) C

Passo 4

Agora, vamos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar C:
1901270 = n<=nte - 1n<=nte1,33 - 1
Simplificando o lado esquerdo:
27090 = 3
Então:
3 = n<=nte - 1n<=nte1,33 - 1

Passo 5

Vamos resolver essa equação para n<=nte. Primeiro, multiplicamos ambos os lados pelo denominador:
3 ( n<=nte1,33 - 1 ) = n<=nte - 1
Distribuindo o 3:
3n<=nte1,33 - 3 = n<=nte - 1
Multiplicando todos os termos por 1,33 para eliminar a fração:
3n<=nte - 3 times 1,33 = 1,33n<=nte - 1,33
Calculando:
3n<=nte - 3,99 = 1,33n<=nte - 1,33

Passo 6

Agora, vamos isolar n<=nte:
Subtraia 1,33n<=nte de ambos os lados:
3n<=nte - 1,33n<=nte - 3,99 = -1,33
Simplificando:
1,67n<=nte - 3,99 = -1,33
Adicione 3,99 a ambos os lados:
1,67n<=nte = 2,66

Passo 7

Finalmente, divida ambos os lados por 1,67 para encontrar n<=nte:
n<=nte = 2,661,67 approx 1,59

Resposta

O índice de refração do material da lente é aproximadamente 1,59.

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