Uma lente de vidro (n=1,6) é coberta com um filme fino (n=1,3) para reduzir a reflexão de uma certa luz incidente. Se “L” é o comprimento de onda da luz no filme, a menor espessura possível da cobertura é
◯ L/8
◯ L/4
\mathrm{L} / 2
◯ L
◯ 2 L

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Refratividade do vidro (substrato): \,n_{\text{vidro}}=1{,}6.
  • Refratividade do filme fino que cobre a lente: \,n_{\text{filme}}=1{,}3.
  • A luz incide do ar sobre o filme (pressupõe-se ar com \,n_{\text{ar}\!}\approx1).
  • \,L é o comprimento de onda da luz dentro do filme (ou seja, a distância de onda no meio com \,n_{\text{filme}}=1{,}3).
  • Pergunta: qual é a menor espessura possível da cobertura (entre as alternativas dadas) que reduz a reflexão por interferência destrutiva?

Passo 2

Entendendo o que interfere: existem dois principais raios refletidos que nos interessam
  • um refletido na face superior do filme (ar → filme), e
  • outro refletido na face inferior do filme (filme → vidro).
Esses dois raios emergem para o ar e podem se interferir. Para decidir se a interferência entre eles é destrutiva precisamos considerar duas coisas: (1) a diferença de caminho óptico acumulada dentro do filme entre os dois raios, e (2) mudanças de fase ocorridas nas reflexões nas superfícies.
Explicando a mudança de fase nas reflexões (regra prática, fácil de lembrar):
  • Quando um raio é refletido numa interface onde o índice do meio de incidência é menor que o índice do meio refletor ( n_{\text{inc}}<n_{\text{ref}}), a onda refletida ganha uma mudança de fase de \pi (equivalente a inversão de sinal).
  • Se a reflexão ocorre do meio mais denso para o menos denso ( n_{\text{inc}}>n_{\text{ref}}), não há essa mudança de fase (fase zero).
Aplicando ao nosso caso:
  • Reflexão na face ar → filme: \,n_{\text{ar}}=1 < n_{\text{filme}}=1{,}3 ⇒ mudança de fase de \pi.
  • Reflexão na face filme → vidro: \,n_{\text{filme}}=1{,}3 < n_{\text{vidro}}=1{,}6 ⇒ mudança de fase de \pi também.
Portanto ambas as reflexões introduzem uma mudança de fase \pi. Como as duas têm \pi, a diferença de fase proveniente das reflexões é
\Delta\phi_{\text{reflexões}}=\pi-\pi=0.õ

Passo 3

Agora calculamos a diferença de fase devido ao percurso dentro do filme. O raio que reflete na face inferior percorre ida e volta dentro do filme, acumulando uma diferença de caminho físico 2t (onde t é a espessura do filme). Como a onda está no filme, usamos o comprimento de onda no filme \,L.
A constante de fase dentro do filme (número de onda) é
k_{\text{filme}}=\frac{2\pi}{L}.
A fase adquirida pelo percurso ida-e-volta é
\Delta\phi_{\text{caminho}}=2k_{\text{filme}}\,t=2\cdot\frac{2\pi}{L}\,t=\frac{4\pi t}{L}.

Passo 4

Condição para interferência destrutiva entre os dois raios: a diferença total de fase entre eles deve ser um múltiplo ímpar de \pi, ou seja
\Delta\phi_{\text{total}}=(2m+1)\pi,\qquad m=0,1,2,\dots
A diferença total de fase é a soma das contribuições das reflexões e do caminho:
\Delta\phi_{\text{total}}=\Delta\phi_{\text{reflexões}}+\Delta\phi_{\text{caminho}}.õ
Como vimos no Passo 2, \Delta\phi_{\text{reflexões}}=0õ. Assim a condição fica
\frac{4\pi t}{L}=(2m+1)\pi.

Passo 5

Simplificando a expressão do Passo 4 para obter a espessura t:
\frac{4\pi t}{L}=(2m+1)\pi \quad\Longrightarrow\quad \frac{4t}{L}=2m+1 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{2m+1}{4}\,L.
As possíveis espessuras que produzem interferência destrutiva são, para m=0,1,2,\dots:
t=\frac{1}{4}L,\\ \frac{3}{4}L,\\ \frac{5}{4}L,\\ \dots
A menor espessura positiva é obtida para m=0, ou seja
t=\frac{L}{4}.

Passo 6

Comentando rapidamente (motivação física): a escolha usual de uma camada anti-reflexo é espessura \,L/4 quando as duas reflexões têm a mesma mudança de fase ao refletir (ou quando a diferença de fase por reflexão é zero). Em outros arranjos (por exemplo ar → filme com n_{\text{filme}}>n_{\text{substrato}} diferente) a análise das mudanças de fase pode levar ao mesmo resultado ou a outras condições, mas aqui o cálculo direto deu \,L/4.

Resposta

\mathrm{L}/4

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