18-10 Um meio dielétrico de índice de refração
tem sobreposta uma película de índice
; uma onda, que parte do meio dielétrico
, incide sobre ele. Demonstre que
, para
, dessa forma,
para
, para incidência normal.
Passo 1
O enunciado dá um filme de índice
sobreposto a um meio de índice
e uma onda que vem do meio de índice
incide normalmente sobre o filme. O que pede:
- Mostrar que
quando . - Mostrar que, nessa situação, a refletância total
do sistema é zero quando (para incidência normal).
Informações relevantes dadas:
- Incidência normal (simplifica as fórmulas de Fresnel).
- Índices dos meios:
. - Existe uma fase
associada ao percurso dentro do filme (vamos definir precisamente na construção).
Passo 2
Primeiro, lembrar as fórmulas de Fresnel para incidência normal (essas são fórmulas padrão; explico o porquê delas):
- O coeficiente de amplitude de reflexão na interface entre meio
e meio (incidência normal) é a razão entre a diferença e a soma dos índices:
Aqui
é a amplitude refletida dividida pela amplitude incidente na interface
. A razão surge impondo condições de contorno para os campos elétrico e magnético nas superfícies (continuidade do campo tangencial do
e
), mas para a prova basta usar essa expressão conhecida.
Passo 3
Agora calculamos explicitamente
e
e mostramos que são iguais quando
.
Escrevendo:
Suponha
. Para manipular melhor, escrevemos
,
e
. Então:
onde foi fatorado
no numerador e denominador. De modo análogo,
Portanto, para
obtemos
Passo 4
Agora precisamos da expressão da amplitude de reflexão total do sistema filme+substrato, obtida somando as múltiplas reflexões dentro do filme. Vou montar essa soma de forma clara.
Defina:
-
= fase acumulada numa travessia simples do filme (ida): , onde é a espessura do filme e o comprimento de onda no vácuo. - A fase de ida+volta (round trip) é
. Denotamos essa fase de round-trip:
(Obs.: alguns textos definem
de outras maneiras; aqui
é a fase adquirida em um percurso de ida e volta dentro do filme.)
Procedimento físico para obter a amplitude refletida total:
- A primeira contribuição refletida é
(reflexão na face de entrada). - A parte transmitida na primeira face é multiplicada por
, atravessa o filme (ganha fase ), reflete na segunda interface com amplitude , volta (ganha mais fase ) e transmite de volta para fora com . Isso gera uma segunda contribuição proporcional a . - Em seguida há infinitas repetições gerando uma série geométrica em potências de
.
Somando todas as contribuições (este é o procedimento padrão; quem quiser ver a dedução detalhada das constantes
e
pode pedir), chega-se à fórmula fechada:
Essa é a expressão de amplitude refletida obtida ao somar a série geométrica das múltiplas reflexões para incidência normal.
Passo 5
Aproveitando que provamos
, chamemos esse valor comum de
:
Substituindo na fórmula da amplitude total:
A refletância (intensidade refletida relativa à incidente) é
. Para obter
precisamos de
. Observe que
não é, em geral, zero; a condição para anulação da amplitude é, portanto,
Isso significa
ou seja
para algum inteiro
. Tomando o caso mais simples
temos
. Em termos de cosseno:
Nesse caso o numerador se anula e, desde que o denominador não se anule simultaneamente (o que não acontece para índices reais e
), tem-se
e portanto
Passo 6
Interpretação física curta (pra você entender na prova): quando
as amplitudes das reflexões nas duas faces têm mesma magnitude e mesmo sinal (ou seja, são iguais). Se a fase round-trip
for tal que
(ou seja
), a contribuição da reflexão interna chega fora de fase por
com a reflexão da face de entrada, e as duas se cancelam exatamente — resultado: nenhuma luz é refletida (antirreflexo).