18-10 Um meio dielétrico de índice de refração n_{3} tem sobreposta uma película de índice n_{2}; uma onda, que parte do meio dielétrico n_{1}, incide sobre ele. Demonstre que r_{12}=r_{23}, para n_{2}=\sqrt{n_{1} n_{3}} \mathrm{e}, dessa forma, R=0 para \cos \beta=-1, para incidência normal.

Passo 1

O enunciado dá um filme de índice \,n_{2}\, sobreposto a um meio de índice \,n_{3}\, e uma onda que vem do meio de índice \,n_{1}\, incide normalmente sobre o filme. O que pede:
  • Mostrar que \,r_{12}=r_{23}\, quando \,n_{2}=\sqrt{n_{1}n_{3}}\,.
  • Mostrar que, nessa situação, a refletância total R do sistema é zero quando \cos\beta=-1 (para incidência normal).
Informações relevantes dadas:
  • Incidência normal (simplifica as fórmulas de Fresnel).
  • Índices dos meios: \,n_{1}, n_{2}, n_{3}\,.
  • Existe uma fase \beta associada ao percurso dentro do filme (vamos definir precisamente na construção).

Passo 2

Primeiro, lembrar as fórmulas de Fresnel para incidência normal (essas são fórmulas padrão; explico o porquê delas):
  • O coeficiente de amplitude de reflexão na interface entre meio i e meio j (incidência normal) é a razão entre a diferença e a soma dos índices:
r_{ij}=\frac{n_{i}-n_{j}}{n_{i}+n_{j}}.
Aqui \,r_{ij}\, é a amplitude refletida dividida pela amplitude incidente na interface i\to j. A razão surge impondo condições de contorno para os campos elétrico e magnético nas superfícies (continuidade do campo tangencial do \mathbf{E} e \mathbf{H}), mas para a prova basta usar essa expressão conhecida.

Passo 3

Agora calculamos explicitamente \,r_{12}\, e \,r_{23}\, e mostramos que são iguais quando \,n_{2}=\sqrt{n_{1}n_{3}}\,.
Escrevendo:
r_{12}=\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}},\qquad r_{23}=\frac{n_{2}-n_{3}}{n_{2}+n_{3}}.
Suponha \,n_{2}=\sqrt{n_{1}n_{3}}\,. Para manipular melhor, escrevemos n_{1}=\bigl(\sqrt{n_{1}}\bigr)^{2}, n_{3}=\bigl(\sqrt{n_{3}}\bigr)^{2} e n_{2}=\sqrt{n_{1}}\sqrt{n_{3}}. Então:
r_{12}=\frac{\sqrt{n_{1}}\sqrt{n_{1}}-\sqrt{n_{1}}\sqrt{n_{3}}}{\sqrt{n_{1}}\sqrt{n_{1}}+\sqrt{n_{1}}\sqrt{n_{3}}} =\frac{\sqrt{n_{1}}-\sqrt{n_{3}}}{\sqrt{n_{1}}+\sqrt{n_{3}}},
onde foi fatorado \sqrt{n_{1}} no numerador e denominador. De modo análogo,
r_{23}=\frac{\sqrt{n_{1}}\sqrt{n_{3}}-\sqrt{n_{3}}\sqrt{n_{3}}}{\sqrt{n_{1}}\sqrt{n_{3}}+\sqrt{n_{3}}\sqrt{n_{3}}} =\frac{\sqrt{n_{1}}-\sqrt{n_{3}}}{\sqrt{n_{1}}+\sqrt{n_{3}}}.
Portanto, para \,n_{2}=\sqrt{n_{1}n_{3}}\, obtemos
r_{12}=r_{23}.

Passo 4

Agora precisamos da expressão da amplitude de reflexão total do sistema filme+substrato, obtida somando as múltiplas reflexões dentro do filme. Vou montar essa soma de forma clara.
Defina:
  • \delta = fase acumulada numa travessia simples do filme (ida): \delta=\dfrac{2\pi n_{2} d}{\lambda}, onde \,d\, é a espessura do filme e \lambda o comprimento de onda no vácuo.
  • A fase de ida+volta (round trip) é \,2\delta. Denotamos \beta essa fase de round-trip:
\beta=2\delta=\frac{4\pi n_{2} d}{\lambda}.
(Obs.: alguns textos definem \beta de outras maneiras; aqui \beta é a fase adquirida em um percurso de ida e volta dentro do filme.)
Procedimento físico para obter a amplitude refletida total:
  • A primeira contribuição refletida é r_{12} (reflexão na face de entrada).
  • A parte transmitida na primeira face é multiplicada por t_{12}, atravessa o filme (ganha fase e^{i\delta}), reflete na segunda interface com amplitude r_{23}, volta (ganha mais fase e^{i\delta}) e transmite de volta para fora com t_{21}. Isso gera uma segunda contribuição proporcional a t_{12}t_{21}r_{23}e^{i\beta}.
  • Em seguida há infinitas repetições gerando uma série geométrica em potências de r_{21}r_{23}e^{i\beta}.
Somando todas as contribuições (este é o procedimento padrão; quem quiser ver a dedução detalhada das constantes t_{ij} e r_{ij} pode pedir), chega-se à fórmula fechada:
r_{\text{total}}=\frac{r_{12}+r_{23}e^{i\beta}}{1+r_{12}r_{23}e^{i\beta}}.
Essa é a expressão de amplitude refletida obtida ao somar a série geométrica das múltiplas reflexões para incidência normal.

Passo 5

Aproveitando que provamos \,r_{12}=r_{23}\,, chamemos esse valor comum de r_{0}:
r_{0}=r_{12}=r_{23}.
Substituindo na fórmula da amplitude total:
r_{\text{total}}=\frac{r_{0}+r_{0}e^{i\beta}}{1+r_{0}^{2}e^{i\beta}} = r_{0}\,\frac{1+e^{i\beta}}{1+r_{0}^{2}e^{i\beta}}.
A refletância (intensidade refletida relativa à incidente) é R=|r_{\text{total}}|^{2}. Para obter R=0 precisamos de r_{\text{total}}=0. Observe que r_{0} não é, em geral, zero; a condição para anulação da amplitude é, portanto,
1+e^{i\beta}=0.
Isso significa
e^{i\beta}=-1,
ou seja \beta=(2k+1)\pi para algum inteiro k. Tomando o caso mais simples k=0 temos \beta=\pi. Em termos de cosseno:
\cos\beta=-1.
Nesse caso o numerador se anula e, desde que o denominador não se anule simultaneamente (o que não acontece para índices reais e r_{0}\neq\pm1), tem-se r_{\text{total}}=0 e portanto
R=0.

Passo 6

Interpretação física curta (pra você entender na prova): quando \,n_{2}=\sqrt{n_{1}n_{3}}\, as amplitudes das reflexões nas duas faces têm mesma magnitude e mesmo sinal (ou seja, são iguais). Se a fase round-trip \beta for tal que e^{i\beta}=-1 (ou seja \cos\beta=-1), a contribuição da reflexão interna chega fora de fase por \pi com a reflexão da face de entrada, e as duas se cancelam exatamente — resultado: nenhuma luz é refletida (antirreflexo).

Resposta

r_{12}=r_{23} para n_{2}=\sqrt{n_{1}n_{3}}.
R=0 quando \cos\beta=-1 (incidência normal).

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