Um oscilador electromagnético de frequência 5,1 \mathrm{GHz} gera uma onda electromagnética no vácuo. Sabe-se que o vector campo eléctrico oscilante tem módulo máximo \mathrm{E}=1,7 \mathrm{Kv} / \mathrm{m} em certo local
a) O coprimento de onda e o período dessa onda;
b) O módulo máximo assumido pelo vector campo magnético nesse local.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (já peguei os números do enunciado):
  • Dado: a frequência da onda eletromagnética é \,f=5,1\\ \mathrm{GHz}.
    Vou escrever em unidades do SI: \,f=5,1\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
  • Dado: o módulo máximo do campo elétrico no ponto é \,E_{\max}=1,7\\ \mathrm{kV/m}.
    Em unidades do SI isso é \,E_{\max}=1,7\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}.
O que o enunciado pede:
a) o comprimento de onda e o período da onda (ou seja, \lambda e T);
b) o módulo máximo do vetor campo magnético nesse local (ou seja, B_{\max}).

Passo 2

Relembrando (fórmulas e significado das variáveis) — explicação didática e básica:
  • A velocidade de propagação de uma onda eletromagnética no vácuo é a velocidade da luz, que vou tomar como \,c=3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    Aqui \,c é a velocidade da onda, \mathrm{m/s} são metros por segundo.
  • O comprimento de onda \lambda está relacionado à velocidade e à frequência por
\lambda=\frac{c}{f},
onde \lambda tem unidades de metros, c em \mathrm{m/s} e f em \mathrm{Hz}.
  • O período T é o tempo entre duas oscilações sucessivas e está relacionado à frequência por
T=\frac{1}{f},
onde T tem unidades de segundos.
Vou usar essas duas fórmulas para responder a (a). Estou mostrando exatamente de onde vem cada fórmula para que você consiga aplicar na prova: c=f\lambda é a relação básica onda-velocidade, daí isolamos \lambda; e período é inverso da frequência.

Passo 3

Cálculo do comprimento de onda \lambda.
Substituindo na fórmula \lambda=\dfrac{c}{f}:
\lambda=\frac{3,00\times10^{8}}{5,1\times10^{9}}\\ \mathrm{m}.
Agora vou fazer a divisão em notação científica passo a passo (sem calculadora complicada): separe as potências de 10 e as partes numéricas:
\lambda=\left(\frac{3,00}{5,1}\right)\times10^{8-9}\\ \mathrm{m}=\left(\frac{3,00}{5,1}\right)\times10^{-1}\\ \mathrm{m}.
Calcule \dfrac{3,00}{5,1}. Uma forma prática é pensar 3,00/5,1\approx0,588235\ldots (divisão simples). Então
\lambda\approx0,588235\times10^{-1}\\ \mathrm{m}=5,88235\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Arredondando a um número razoável de algarismos significativos (três algarismos, já que os dados têm três dígitos relevantes),
\lambda\approx5,88\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=5,88\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Cálculo do período T.
Usando T=\dfrac{1}{f}:
T=\frac{1}{5,1\times10^{9}}\\ \mathrm{s}.
Decompondo em notação científica:
T=\left(\frac{1}{5,1}\right)\times10^{-9}\\ \mathrm{s}.
\dfrac{1}{5,1}\approx0,196078\ldots, portanto
T\approx0,196078\times10^{-9}\\ \mathrm{s}=1,96078\times10^{-10}\\ \mathrm{s}.
Arredondando a três algarismos significativos:
T\approx1,96\times10^{-10}\\ \mathrm{s}=0,196\\ \mathrm{ns}.

Passo 5

Explicação física curta antes da parte (b): em uma onda eletromagnética plana no vácuo, os campos elétrico e magnético são perpendiculares e seus módulos estão relacionados por
E_{\max}=c\,B_{\max},
onde E_{\max} é o módulo máximo do campo elétrico, B_{\max} é o módulo máximo do campo magnético e c é a velocidade da luz. Essa relação vem das equações de Maxwell para uma onda viajando no vácuo e significa, na prática, que o campo magnético é menor numericamente por um fator c.
Isolando B_{\max} fica
B_{\max}=\frac{E_{\max}}{c}.

Passo 6

Cálculo de B_{\max} com os valores dados.
Temos \,E_{\max}=1,7\times10^{3}\\ \mathrm{V/m} e \,c=3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Então
B_{\max}=\frac{1,7\times10^{3}}{3,00\times10^{8}}\\ \mathrm{T}.
Separe as partes numéricas e as potências de 10:
B_{\max}=\left(\frac{1,7}{3,00}\right)\times10^{3-8}\\ \mathrm{T}=\left(\frac{1,7}{3,00}\right)\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
Calcule \dfrac{1,7}{3,00}\approx0,5666667. Assim
B_{\max}\approx0,5666667\times10^{-5}\\ \mathrm{T}=5,666667\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.
Arredondando a três algarismos significativos:
B_{\max}\approx5,67\times10^{-6}\\ \mathrm{T}=5,67\\ \mu\mathrm{T}.

Passo 7

Resumo interpretativo rápido (ajuda mnemônica para a prova):
  • Para achar \lambda use sempre \lambda=c/f. Se a frequência está em GHz, converta antes para Hz multiplicando por 10^{9}.
  • Para achar T use T=1/f.
  • Para relacionar E e B em vácuo use E=cB (ou B=E/c). Isso dá o valor do campo magnético em tesla; multiplicando por 10^{6} obtém-se microtesla ( \mu\mathrm{T}).
Força aí — você já tem as fórmulas e um modo de calcular sem depender de calculadora complicada: trabalhe com fatores de potência de 10 e divida as mantissas como eu mostrei.

Resposta

a) \lambda=5,88\times10^{-2}\\ \mathrm{m} e T=1,96\times10^{-10}\\ \mathrm{s}
b) B_{\max}=5,67\times10^{-6}\\ \mathrm{T}

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