Leonhard Euler calculou que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}
Utilize esse resultado para calcular
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a identidade clássica de Euler:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.
Pede para calcular a soma alternada
S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^{2}}=1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\cdots.
Informações relevantes fornecidas:
  • O valor da série dos recíprocos dos quadrados (soma não alternada) é \dfrac{\pi^{2}}{6}.
  • A série pedida é a versão alternada dessa série, trocando o sinal a cada termo.

Passo 2

Vamos entender uma ideia simples e poderosa: separar a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} em duas partes — termos com n ímpar e termos com n par — e usar isso para escrever a soma alternada como diferença entre essas partes.
Expliquei a ideia sem computar nada ainda: se eu souber a soma dos termos pares e a soma dos termos ímpares, posso escrever a soma alternada como
S=(\text{soma dos termos ímpares})-(\text{soma dos termos pares}).í
Agora fazemos isso passo a passo.

Passo 3

Calcular a soma dos termos pares. Os termos pares são n=2k com k\ge1. Então
\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{par}}}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k)^{2}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4k^{2}}=\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}.
Como sabemos pela identidade dada que \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{2}}=\dfrac{\pi^{2}}{6}, temos
\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{par}}}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi^{2}}{6}=\frac{\pi^{2}}{24}.

Passo 4

Calcular a soma dos termos ímpares. A soma total (pares + ímpares) é \dfrac{\pi^{2}}{6}. Logo a soma dos ímpares é
\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}-\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{par}}}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}-\frac{\pi^{2}}{24}.í
Fazendo a subtração de frações:
\frac{\pi^{2}}{6}-\frac{\pi^{2}}{24}=\left(\frac{4}{24}-\frac{1}{24}\right)\pi^{2}=\frac{3\pi^{2}}{24}=\frac{\pi^{2}}{8}.

Passo 5

Agora escrevemos a soma alternada S como (ímpares) menos (pares):
S=\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}-\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{par}}}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.í
Substituindo os valores encontrados:
S=\frac{\pi^{2}}{8}-\frac{\pi^{2}}{24}.
Fazendo a diferença:
\frac{\pi^{2}}{8}-\frac{\pi^{2}}{24}=\left(\frac{3}{24}-\frac{1}{24}\right)\pi^{2}=\frac{2\pi^{2}}{24}=\frac{\pi^{2}}{12}.
Portanto a soma alternada vale \dfrac{\pi^{2}}{12}.

Passo 6

Comentário didático rápido (opcional, mas útil para a prova): existe uma fórmula geral que relaciona a soma alternada de potências e a soma não alternada, a função \eta(s)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}n^{-s} satisfaz
\eta(s)=\bigl(1-2^{1-s}\bigr)\zeta(s).
Para s=2 isso dá \eta(2)=(1-2^{-1})\zeta(2)=\tfrac{1}{2}\zeta(2)=\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi^{2}}{6}=\dfrac{\pi^{2}}{12}, que coincide com o resultado obtido acima. É só outra forma, rápida, de chegar na mesma resposta.

Resposta

\dfrac{\pi^{2}}{12}

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