Leonhard Euler calculou que
Utilize esse resultado para calcular
Passo 1
O enunciado dá a identidade clássica de Euler:
Pede para calcular a soma alternada
Informações relevantes fornecidas:
- O valor da série dos recíprocos dos quadrados (soma não alternada) é
. - A série pedida é a versão alternada dessa série, trocando o sinal a cada termo.
Passo 2
Vamos entender uma ideia simples e poderosa: separar a série
em duas partes — termos com
ímpar e termos com
par — e usar isso para escrever a soma alternada como diferença entre essas partes.
Expliquei a ideia sem computar nada ainda: se eu souber a soma dos termos pares e a soma dos termos ímpares, posso escrever a soma alternada como
Agora fazemos isso passo a passo.
Passo 3
Calcular a soma dos termos pares. Os termos pares são
com
. Então
Como sabemos pela identidade dada que
, temos
Passo 4
Calcular a soma dos termos ímpares. A soma total (pares + ímpares) é
. Logo a soma dos ímpares é
Fazendo a subtração de frações:
Passo 5
Agora escrevemos a soma alternada
como (ímpares) menos (pares):
Substituindo os valores encontrados:
Fazendo a diferença:
Portanto a soma alternada vale
.
Passo 6
Comentário didático rápido (opcional, mas útil para a prova): existe uma fórmula geral que relaciona a soma alternada de potências e a soma não alternada, a função
satisfaz
Para
isso dá
, que coincide com o resultado obtido acima. É só outra forma, rápida, de chegar na mesma resposta.