Enuncie o Teste do Limite e estude a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} n e^{-n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) enunciar o Teste do Limite; (ii) estudar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} n e^{-n}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A série é dada termo a termo por a_n = n e^{-n} para n=0,1,2,\dots.
  • Observação prática: a_0 = 0, logo o somatório efetivamente começa em n=1, mas isso não altera a convergência da série.

Passo 2

Enunciação do Teste do Limite (Teste da razão por limite, muito usado em provas).
Seja (a_n) a sequência dos termos de uma série e suponha que a_n \neq 0 para n suficientemente grande. Defina
L = \lim_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
As conclusões são:
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (portanto converge).
  • Se L>1 (incluindo L=+\infty), a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo (é preciso aplicar outro teste).
    Explicação didática: o teste compara o comportamento assintótico dos termos sucessivos. Se a razão tende para um número menor que 1, os termos decrescem geometricamente no infinito, imitando uma série geométrica convergente; se a razão tende para algo maior que 1, os termos não vão a zero suficientemente rápido e a série diverge.

Passo 3

Justificação de aplicação: os termos a_n = n e^{-n} são positivos para n\ge1, e a_n\neq0 para n\ge1. Portanto podemos aplicar o Teste do Limite definindo a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}.

Passo 4

Cálculo explícito da razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Começando de
a_n = n e^{-n}, \qquad a_{n+1} = (n+1) e^{-(n+1)},
temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1) e^{-(n+1)}}{n e^{-n}}.
Agora simplifico passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{n}\cdot e^{-1} = \left(1+\frac{1}{n}\right)e^{-1}.

Passo 5

Cálculo do limite L:
L = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)e^{-1}.
Usando que \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=1, obtemos
L = 1\cdot e^{-1} = e^{-1}.
Como e\approx 2,718\ldots, tem-se e^{-1}<1.

Passo 6

Aplicação do teste e conclusão sobre convergência: pelo Teste do Limite, como L=e^{-1}<1, a série \sum_{n=0}^{\infty} n e^{-n} converge absolutamente (e portanto converge). Intuição rápida: os termos decaem geometricamente com razão aproximadamente 1/e, o fator polinomial n não é forte o bastante para impedir a convergência.

Passo 7

Valor explícito da soma (útil para a prova e fácil de obter): para |x|<1 vale a identidade bem conhecida
\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}.
Tomando x=e^{-1} obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n} = \frac{e^{-1}}{\bigl(1-e^{-1}\bigr)^2}.
Como a_0=0, essa soma é igual à soma pedida em todo o enunciado \sum_{n=0}^{\infty} n e^{-n}.

Passo 8

Recapitulando de forma encorajadora: a aplicação do Teste do Limite (razão por limite) foi direta e rápida — calcular a razão, tirar o limite, verificar que é menor que 1 e concluir convergência absoluta. Se ficar nervoso na prova, lembra: seguir esses passos ordenados evita erros.

Resposta

O Teste do Limite: seja L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|; se L<1 a série \sum a_n converge absolutamente, se L>1 diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo.
A série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} n e^{-n} converge (absolutamente) e tem soma \displaystyle \frac{e^{-1}}{\bigl(1-e^{-1}\bigr)^2}.

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