A série tem termo geral a_k=\dfrac{1}{k}\sin\!\left(\dfrac{1}{k}\right).
Para k\in\mathbb{N} com k\ge 1 vale 0<\dfrac{1}{k}\le 1, portanto \sin\!\left(\dfrac{1}{k}\right)>0. Assim os termos a_k são não negativos.
Precisamos decidir se a série converge (e, se possível, determinar se converge absolutamente).
Passo 2
Enunciado do Teste da Comparação (versão direta):
Sejam (a_k) e (b_k) duas sequências de números reais não negativos tais que, a partir de algum índice, 0\le a_k\le b_k para todo k. Se a série
\sum_{k=1}^{\infty} b_k
converge, então a série
\sum_{k=1}^{\infty} a_k
também converge.
Explicação didática do que isso significa:
As a_k e b_k são termos não negativos. Pense que b_k é uma “maior” série que já se sabe convergir; então se cada a_k é menor ou igual a b_k, a soma dos a_k não pode “ultrapassar” a soma finita de b_k, logo \sum a_k também converge.
É importante que b_k tenha soma finita; se b_k diverge não se pode concluir nada com esse teste (para esse caso usa-se às vezes o teste da comparação reversa ou o teste da comparação por limite).
Versão do Teste da Comparação por limite (útil quando os termos são do mesmo tamanho assintótico):
Se a_k>0,\\ b_k>0 e existir o limite
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}\in(0,\infty),
então \sum a_k converge sse \sum b_k converge. Aqui a ideia é que a_k e b_k são equivalentes assintoticamente (diferença só por uma constante).
Passo 3
Ferramenta básica sobre \sin x que vamos usar:
Para todo x\in\mathbb{R} vale a desigualdade
|\sin x|\le |x|.
Rápida justificativa (intuitiva): para x\ge 0 a função f(x)=x-\sin x tem f(0)=0 e f'(x)=1-\cos x\ge 0, logo f(x)\ge0 para x\ge0, isto dá \sin x\le x para x\ge0; estendendo com simetria obtemos a desigualdade em valor absoluto.
Também é útil saber a aproximação para x pequeno (expansão de Taylor):
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\quad (x\to 0),
então para x pequeno \sin x\sim x. Isso explica por que os termos da nossa série têm comportamento parecido com 1/k^2 quando k é grande.
Passo 4
Aplicando a desigualdade ao termo geral:
Para cada k\ge 1 vale
0<\sin\!\left(\frac{1}{k}\right)\le \frac{1}{k},
portanto, tomando módulos (aqui os termos já são positivos), obtemos a desigualdade
A série comparadora escolhida é a série \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{2}}, que é uma série p-serie com p=2>1. Conhece‑se que esta série converge (é a clássica convergência do caso p>1).
Como, para todo k, 0\le a_k\le \dfrac{1}{k^2} e \sum \dfrac{1}{k^2} converge, pelo Teste da Comparação a série
Convergência absoluta e observação alternativa (por limite):
Como \left|\dfrac{1}{k}\sin\!\left(\dfrac{1}{k}\right)\right|\le \dfrac{1}{k^{2}} e \sum \dfrac{1}{k^{2}} converge, segue que a série converge absolutamente.
Observação alternativa com o Teste da Comparação por limite: tomando a_k=\dfrac{1}{k}\sin\!\left(\dfrac{1}{k}\right) e b_k=\dfrac{1}{k^{2}},
\frac{a_k}{b_k}=k\sin\!\left(\frac{1}{k}\right).
Como x\mapsto \dfrac{\sin x}{x}\to 1 quando x\to 0, ao pôr x=\dfrac{1}{k} obtemos
O limite é finito e positivo, logo \sum a_k e \sum b_k têm o mesmo comportamento quanto à convergência; como \sum b_k converge, \sum a_k converge. Isso reforça que os termos são assintoticamente equivalentes a 1/k^{2}.
Resposta
Teste da Comparação (direto): Sejam a_k,b_k\ge 0 e a_k\le b_k a partir de algum índice. Se \sum b_k converge então \sum a_k converge.
A série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\sin\!\left(\frac{1}{k}\right) converge absolutamente (logo converge).