8.4 Let x be an N-periodic sequence. Determine whether each sequence y given below is periodic. y(n)=x(2 n).
Passo 1
O enunciado dá uma sequência x que é N-periódica e define outra sequência y por
y(n)=x(2n).
O que se pede: determinar se y é periódica e, em caso afirmativo, qual (um) período de y — e, idealmente, o menor período possível em função de N.
Informações relevantes dadas:
Para todo n vale x(n+N)=x(n) (esta é a periodicidade dada).
A definição y(n)=x(2n) (peguei isto diretamente do enunciado).
Passo 2
Relembrando o conceito de período (aula rápida): dizer que uma sequência z é M-periódica significa que, para todo n,
z(n+M)=z(n).
O menor inteiro positivo M que satisfaz isso é chamado de período fundamental de z. Pode haver períodos múltiplos do período fundamental também.
Aplicando essa definição a y: queremos um inteiro positivo M tal que, para todo n,
y(n+M)=y(n).
Passo 3
Escrevendo y(n+M) em função de x:
y(n+M)=x\bigl(2(n+M)\bigr)=x(2n+2M).
A condição y(n+M)=y(n) portanto fica
x(2n+2M)=x(2n)\qquad\text{para todo }n.
Passo 4
Agora usamos a periodicidade de x: sabemos que sempre que os argumentos de x diferem por um múltiplo de N, os valores são iguais. Ou seja, se existir um inteiro k tal que
2n+2M = 2n + kN,
então x(2n+2M)=x(2n). Cancelando 2n obtemos a condição independente de n:
2M = kN
para algum inteiro k. Em palavras: é necessário e suficiente que 2M seja múltiplo de N.
Passo 5
Queremos o menor inteiro positivo M tal que N divida 2M. Isso é um problema clássico de divisibilidade. Seja d=\gcd(N,2) o máximo divisor comum entre N e 2. Então a condição N\mid 2M é equivalente a
\frac{N}{d}\\ \Big|\\ \frac{2M}{d}.
Como \gcd\!\bigl(\tfrac{N}{d},\tfrac{2}{d}\bigr)=1, o menor M>0 que satisfaz N\mid 2M é
M_0=\frac{N}{d}.
Isto é uma forma compacta; podemos analisar os dois casos possíveis para d=\gcd(N,2).
Passo 6
Calculemos explicitamente usando d:
Se N é par então \gcd(N,2)=2. AssimM_0=\frac{N}{2}.Verificação rápida: para esse M_0,2M_0 = 2\cdot\frac{N}{2}=N,e portanto x(2n+2M_0)=x(2n+N)=x(2n) por periodicidade de x. Logo y é \tfrac{N}{2}-periódica.
Se N é ímpar então \gcd(N,2)=1. AssimM_0=\frac{N}{1}=N.Verificação: 2M_0=2N é múltiplo de N, então y(n+N)=x(2n+2N)=x(2n). Logo y é N-periódica. Não existe período positivo menor que N que faça 2M múltiplo de N quando N é ímpar.
Passo 7
Exemplos concretos para consolidar:
Se N=6 (par), então y tem período M_0=6/2=3. Teste: y(n+3)=x(2n+6)=x(2n).
Se N=5 (ímpar), então y tem período M_0=5. Teste: y(n+5)=x(2n+10)=x(2n).
Se N=1, trivialmente y é 1-periódica (constante).
Passo 8
Observação final importante (sobre período fundamental): o que fizemos assume apenas que x tem período N. Se o período fundamental de x for um divisor próprio N_0 de N, então o período fundamental de y será M_0=N_0/\gcd(N_0,2), que pode ser ainda menor que os valores calculados acima. Em outras palavras, saber apenas que x é N-periódica garante que y é periódica com período N/\gcd(N,2), mas o menor período real pode depender do período fundamental de x.
Resposta
Se N é par, y é \dfrac{N}{2}-periódica.
Se N é ímpar, y é N-periódica.