8.5 Let x denote an arbitrary N-periodic sequence x. Show that:
(a) if x is even, then x(n)=x(N-n);
(b) if x is odd, then x(n)=-x(N-n); and
(c) if x is odd, then x(0)=0 for both even and odd N, and x\left(\frac{N}{2}\right)=0 for even N.

Passo 1

O enunciado dá que x é uma sequência N-periódica (isto é, vale para todo inteiro n que x(n+N)=x(n)) e pede para mostrar três propriedades:
(a) se x for par, então x(n)=x(N-n) para todo inteiro n;
(b) se x for ímpar, então x(n)=-x(N-n) para todo inteiro n;
(c) se x for ímpar, então x(0)=0 para qualquer N, e além disso x\!\left(\dfrac{N}{2}\right)=0 quando N for par.
Também fica implícito que índices negativos são interpretados usando periodicidade (índices tomados modulo N). A resolução vai usar apenas essas informações.

Passo 2

Primeiro, vou recordar e explicar cuidadosamente as definições que vamos usar (para você poder aplicar isso na prova sem medo).
Definição de N-periodicidade:
\text{Para todo inteiro }n:\qquad x(n+N)=x(n).
Isto significa que a sequência repete os valores a cada N passos; em particular, índices que diferem por múltiplos de N representam o mesmo termo.
Definição de sequência par:
\text{Para todo inteiro }n:\qquad x(n)=x(-n).
Definição de sequência ímpar:
\text{Para todo inteiro }n:\qquad x(n)=-x(-n).
Obs.: aqui -n pode ser um índice negativo; usamos a periodicidade para reescrever índices negativos como índices na faixa 0,1,\dots,N-1 quando for conveniente.

Passo 3

Explicar a relação entre -n e N-n usando periodicidade (isso é crucial e costuma confundir no início).
Para qualquer inteiro n vale a congruência módulo N:
-n \equiv N-n \pmod{N}.
Isto significa que -n e N-n diferem por um múltiplo de N; portanto, pela N-periodicidade,
x(-n)=x(N-n)\qquad\text{para todo inteiro }n.
Essa igualdade é válida também nos casos especiais: por exemplo, para n=0 temos N-0=N e como x(N)=x(0) pela periodicidade, a fórmula continua correta.

Passo 4

Provar (a): se x é par então x(n)=x(N-n).
Pelo que lembra a definição de par, para todo inteiro n,
x(n)=x(-n).
Usando a igualdade da etapa anterior x(-n)=x(N-n), obtemos combinando as duas:
x(n)=x(-n)=x(N-n).
Portanto, para toda sequência N-periódica par e para todo inteiro n vale \,x(n)=x(N-n)\,, como pedido.

Passo 5

Provar (b): se x é ímpar então x(n)=-x(N-n).
Pela definição de ímpar, para todo inteiro n,
x(n)=-x(-n).
Novamente utilizando x(-n)=x(N-n) da etapa 3, substitui-se e obtém-se:
x(n)=-x(-n)=-x(N-n).
Logo, para toda sequência N-periódica ímpar e todo inteiro n vale \,x(n)=-x(N-n)\,, provando (b).

Passo 6

Provar a primeira parte de (c): se x é ímpar então x(0)=0 (para qualquer N).
Pegue n=0 na definição de ímpar:
x(0)=-x(-0).
Como -0=0, isso é
x(0)=-x(0).
Somando x(0) dos dois lados obtemos 2x(0)=0, então
x(0)=0.
Isto vale independentemente de N ser par ou ímpar.

Passo 7

Provar a segunda parte de (c): se x é ímpar e N é par então x\!\left(\dfrac{N}{2}\right)=0.
Se N é par então \dfrac{N}{2} é inteiro; tome n=\dfrac{N}{2}. Observe que
-\,\frac{N}{2}\equiv N-\frac{N}{2}=\frac{N}{2}\pmod{N},
ou seja, -\dfrac{N}{2} e \dfrac{N}{2} representam o mesmo índice módulo N. Pela definição de ímpar,
x\!\left(\frac{N}{2}\right)=-x\!\left(-\frac{N}{2}\right).
Mas, como vimos, -\dfrac{N}{2}\equiv \dfrac{N}{2}, então x\!\left(-\dfrac{N}{2}\right)=x\!\left(\dfrac{N}{2}\right). Substituindo isso:
x\!\left(\frac{N}{2}\right)=-x\!\left(\frac{N}{2}\right).
Somando os dois lados: 2\,x\!\left(\dfrac{N}{2}\right)=0, logo
x\!\left(\frac{N}{2}\right)=0.
Se N for ímpar, \dfrac{N}{2} não é inteiro e portanto o índice \dfrac{N}{2} não faz sentido na sequência indexada por inteiros — por isso a conclusão sobre \dfrac{N}{2} só é aplicável quando N é par.

Resposta

(a) x(n)=x(N-n)
(b) x(n)=-x(N-n)
(c) x(0)=0 e, se N for par, x\!\left(\dfrac{N}{2}\right)=0

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