8.5 Let
denote an arbitrary
-periodic sequence
. Show that:
(a) if
is even, then
;
(b) if
is odd, then
; and
(c) if
is odd, then
for both even and odd
, and
for even
.
(a) if
(b) if
(c) if
Passo 1
O enunciado dá que
é uma sequência
-periódica (isto é, vale para todo inteiro
que
) e pede para mostrar três propriedades:
(a) se for par, então
para todo inteiro
;
(b) se for ímpar, então
para todo inteiro
;
(c) se for ímpar, então
para qualquer
, e além disso
quando
for par.
(a) se
(b) se
(c) se
Também fica implícito que índices negativos são interpretados usando periodicidade (índices tomados modulo
). A resolução vai usar apenas essas informações.
Passo 2
Primeiro, vou recordar e explicar cuidadosamente as definições que vamos usar (para você poder aplicar isso na prova sem medo).
Definição de
-periodicidade:
Isto significa que a sequência repete os valores a cada
passos; em particular, índices que diferem por múltiplos de
representam o mesmo termo.
Definição de sequência par:
Definição de sequência ímpar:
Obs.: aqui
pode ser um índice negativo; usamos a periodicidade para reescrever índices negativos como índices na faixa
quando for conveniente.
Passo 3
Explicar a relação entre
e
usando periodicidade (isso é crucial e costuma confundir no início).
Para qualquer inteiro
vale a congruência módulo
:
Isto significa que
e
diferem por um múltiplo de
; portanto, pela
-periodicidade,
Essa igualdade é válida também nos casos especiais: por exemplo, para
temos
e como
pela periodicidade, a fórmula continua correta.
Passo 4
Provar (a): se
é par então
.
Pelo que lembra a definição de par, para todo inteiro
,
Usando a igualdade da etapa anterior
, obtemos combinando as duas:
Portanto, para toda sequência
-periódica par e para todo inteiro
vale
, como pedido.
Passo 5
Provar (b): se
é ímpar então
.
Pela definição de ímpar, para todo inteiro
,
Novamente utilizando
da etapa 3, substitui-se e obtém-se:
Logo, para toda sequência
-periódica ímpar e todo inteiro
vale
, provando (b).
Passo 6
Provar a primeira parte de (c): se
é ímpar então
(para qualquer
).
Pegue
na definição de ímpar:
Como
, isso é
Somando
dos dois lados obtemos
, então
Isto vale independentemente de
ser par ou ímpar.
Passo 7
Provar a segunda parte de (c): se
é ímpar e
é par então
.
Se
é par então
é inteiro; tome
. Observe que
ou seja,
e
representam o mesmo índice módulo
. Pela definição de ímpar,
Mas, como vimos,
, então
. Substituindo isso:
Somando os dois lados:
, logo
Se
for ímpar,
não é inteiro e portanto o índice
não faz sentido na sequência indexada por inteiros — por isso a conclusão sobre
só é aplicável quando
é par.
Resposta
(a)
(b)
(c) e, se
for par,
(b)
(c)