8.4 Let
be an
-periodic sequence. Determine whether each sequence
given below is periodic.
;
Passo 1
O enunciado dá que
é uma sequência
-periódica. Ou seja, para todo inteiro
vale a condição
A sequência que nos é dada para analisar é
O enunciado pede para determinar se essa sequência
é periódica (e, se for, qual o período).
Passo 2
Primeiro vamos explicar claramente o que significa
. A parte ímpar (odd part) de uma sequência
é definida por
Aqui:
-
é o valor da sequência no índice ; -
é o valor da sequência no índice ; - a fórmula tira a componente ímpar de
em cada índice .
Passo 3
Para investigar periodicidade de
calculamos
e comparamos com
. Escrever
explicitamente usando a definição da parte ímpar:
Passo 4
Usando a hipótese de que
é
-periódica podemos substituir
por
. Assim o primeiro termo fica
. O segundo termo é
. Então
Passo 5
Agora usamos novamente a periodicidade de
, mas aplicada ao índice
. A periodicidade
vale para todo inteiro
. Tomando
obtemos
Portanto
pode ser substituído por
.
Passo 6
Substituindo o resultado do passo anterior em
obtemos
Mas a expressão do lado direito é exatamente
. Logo para todo inteiro
temos a igualdade
Passo 7
A igualdade
para todo
mostra que
tem período
(ou algum divisor de
, no sentido de que o período fundamental de
pode ser um divisor de
em casos particulares). Exemplos para intuição:
- Se
for uma sequência par ( para todo ), então é a sequência identicamente zero (que é periódica com qualquer período). - Se
for ímpar ( ), então e herda o período .
Resposta
Sim.
é
-periódica.