8.4 Let x be an N-periodic sequence. Determine whether each sequence y given below is periodic.
y(n)=\operatorname{Odd}\{x\}(n);

Passo 1

O enunciado dá que x é uma sequência N-periódica. Ou seja, para todo inteiro n vale a condição
x(n+N)=x(n).
A sequência que nos é dada para analisar é
y(n)=\operatorname{Odd}\{x\}(n).
O enunciado pede para determinar se essa sequência y é periódica (e, se for, qual o período).

Passo 2

Primeiro vamos explicar claramente o que significa \operatorname{Odd}\{x\}(n). A parte ímpar (odd part) de uma sequência x é definida por
\operatorname{Odd}\{x\}(n)=\frac{1}{2}\bigl(x(n)-x(-n)\bigr).
Aqui:
  • x(n) é o valor da sequência no índice n;
  • x(-n) é o valor da sequência no índice -n;
  • a fórmula tira a componente ímpar de x em cada índice n.

Passo 3

Para investigar periodicidade de y calculamos y(n+N) e comparamos com y(n). Escrever y(n+N) explicitamente usando a definição da parte ímpar:
y(n+N)=\frac{1}{2}\bigl(x(n+N)-x(-(n+N))\bigr).

Passo 4

Usando a hipótese de que x é N-periódica podemos substituir x(n+N) por x(n). Assim o primeiro termo fica x(n). O segundo termo é x(-(n+N))=x(-n-N). Então
y(n+N)=\frac{1}{2}\bigl(x(n)-x(-n-N)\bigr).

Passo 5

Agora usamos novamente a periodicidade de x, mas aplicada ao índice -n-N. A periodicidade x(k+N)=x(k) vale para todo inteiro k. Tomando k=-n-N obtemos
x(-n-N+N)=x(-n-N)\quad\Longrightarrow\quad x(-n)=x(-n-N).
Portanto x(-n-N) pode ser substituído por x(-n).

Passo 6

Substituindo o resultado do passo anterior em y(n+N) obtemos
y(n+N)=\frac{1}{2}\bigl(x(n)-x(-n)\bigr).
Mas a expressão do lado direito é exatamente y(n). Logo para todo inteiro n temos a igualdade
y(n+N)=y(n).

Passo 7

A igualdade y(n+N)=y(n) para todo n mostra que y tem período N (ou algum divisor de N, no sentido de que o período fundamental de y pode ser um divisor de N em casos particulares). Exemplos para intuição:
  • Se x for uma sequência par ( x(-n)=x(n) para todo n), então \operatorname{Odd}\{x\} é a sequência identicamente zero (que é periódica com qualquer período).
  • Se x for ímpar ( x(-n)=-x(n)), então \operatorname{Odd}\{x\}=x e herda o período N.

Resposta

Sim. y é N-periódica.

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