Liga-se um voltímetro entre os trilhos de uma estrada de ferro, cujo espaçamento é de 1,5 \mathrm{~m}. Os trilhos são supostos isolados um do outro. A componente vertical do campo magnético terrestre no local é 0,5 G. Qual é a leitura do voltímetro quando passa um trem a 150 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ? (Lembre-se de que \left.1 G=10^{-4} T\right) \cdot(J, S)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a leitura do voltímetro:
  • Espaçamento entre os trilhos: L=1,5\\ \mathrm{m}.
  • Componente vertical do campo magnético terrestre: B=0,5\\ \mathrm{G}.
  • Velocidade do trem: 150\\ \mathrm{km/h}.
  • Os trilhos são isolados entre si e o voltímetro mede a diferença de potencial entre eles.
O que se pede: determinar a leitura (valor da diferença de potencial) indicada pelo voltímetro quando o trem passa a essa velocidade.

Passo 2

Primeiro converto as unidades para o Sistema Internacional:
  • Converter B de gauss para tesla. Lembra que 1\\ \mathrm{G}=10^{-4}\\ \mathrm{T}. Então
B=0,5\\ \mathrm{G}=0,5\times10^{-4}\\ \mathrm{T}=5\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
  • Converter a velocidade de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. Usa-se 1\\ \mathrm{km}=10^{3}\\ \mathrm{m} e 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}:
v=150\\ \mathrm{km/h}=\frac{150\times10^{3}\\ \mathrm{m}}{3600\\ \mathrm{s}}=\frac{150000}{3600}\\ \mathrm{m/s}=\frac{125}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx41,667\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora explico por que a diferença de potencial entre os trilhos vale vBL (a parte didática que ajuda na prova).
  • Um portador de carga q dentro de um condutor que se move com velocidade \mathbf{v} num campo magnético \mathbf{B} sofre a força de Lorentz \mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.
  • Essa força empurra cargas para um dos trilhos e opõe-se por um campo elétrico interno \mathbf{E} até o equilíbrio. No equilíbrio, a força elétrica q\mathbf{E} cancela a componente magnética na direção perpendicular.
  • A diferença de potencial entre os dois trilhos é a integral daquela força por carga ao longo da distância entre os trilhos. Para o caso em que \mathbf{v}, \mathbf{B} e a distância entre trilhos são mutuamente perpendiculares, o resultado simples é
\mathcal{E}=vBL,
onde:
  • \mathcal{E} é a força eletromotriz (diferença de potencial) entre os trilhos,
  • v é a velocidade (módulo) do condutor relativo ao campo,
  • B é o módulo da componente do campo magnético perpendicular ao plano do movimento (aqui a componente vertical),
  • L é a distância entre os trilhos (comprimento do caminho pelo qual as cargas são separadas).
Esse resultado é muito usado em problemas de campo magnético e movimento — decora a fórmula e saiba justificar com a força q\mathbf{v}\times\mathbf{B} na prova.

Passo 4

Aplicando a fórmula \mathcal{E}=vBL com os valores convertidos. Primeiro calculo vB:
vB=\left(\frac{125}{3}\\ \mathrm{m/s}\right)\left(5\times10^{-5}\\ \mathrm{T}\right).

Passo 5

Faço a multiplicação passo a passo:
vB=\frac{125}{3}\times 5\times10^{-5}=\frac{625}{3}\times10^{-5}=\frac{6{,}25\times10^{-3}}{3}=2{,}083333\ldots\times10^{-3}\\ \mathrm{(SI)}.
Ou seja,
vB\approx2{,}0833\times10^{-3}\\ \mathrm{(V/m)}\quad\text{(unidade implícita adequada para multiplicar por }L\text{)}.í

Passo 6

Agora multiplico por L=1{,}5\\ \mathrm{m}:
\mathcal{E}=(vB)L=2{,}083333\ldots\times10^{-3}\times1{,}5=3{,}125\times10^{-3}\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Interpretação final e arredondamento razoável: 3{,}125\times10^{-3}\\ \mathrm{V} corresponde a aproximadamente 3{,}13\\ \mathrm{mV}. Esse é um valor bem pequeno — faz sentido fisicamente: a velocidade e o campo terrestre são modestos, então a fem é da ordem de milivolts.

Resposta

\mathcal{E}=3{,}125\times10^{-3}\\ \mathrm{V}

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