Uma espira circular, de raio 5 cm , é colocada em uma regiāo onde há um campo magnético uniforme, com o plano da espira ortogonal ao campo. A espira está ligada a um galvanômetro. O campo magnético aumenta com uma taxa crescente de 0,0020 T / S, e a resistência total do circuito formado pela espira e o galvanômetro é de 5 \Omega. Calcule a fem induzida e a corrente induzida no circuito. (0,5)

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede, com calma:
  • Dado o raio da espira: r=5\\ \text{cm}=0,05\\ \text{m}.
  • Dada a taxa de variação do campo magnético: \dfrac{dB}{dt}=0,0020\\ \text{T/s}.
  • Resistência total do circuito: R=5\\ \Omega.
  • A espira tem o plano ortogonal ao campo magnético (isso significa que a linha de campo é paralela ao eixo normal da espira).
    O enunciado pede:
  1. Calcular a fem induzida na espira.
  2. Calcular a corrente induzida no circuito.

Passo 2

Principiinho físico que vamos usar (explicando como se eu estivesse te ensinando na hora da prova):
  • Fluxo magnético através de uma espira é dado por \Phi_B = B\cdot A\cdot\cos\theta, onde:
    • \Phi_B é o fluxo magnético (em weber, Wb),
    • B é o módulo do campo magnético (em tesla, T),
    • A é a área da espira (em \text{m}^2),
    • \theta é o ângulo entre o vetor campo e a normal à superfície da espira.
  • Aqui o plano da espira é ortogonal ao campo, portanto a normal à espira está alinhada com B, então \theta=0 e \cos\theta=1. Logo \Phi_B=B\,A.
  • A lei de Faraday-Lenz para uma única espira dá a fem induzida: \mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}.Se a área é constante (espira rígida) e só B varia, então \mathcal{E} = -A\,\dfrac{dB}{dt}.O sinal negativo é a expressão da regra de Lenz (a fem gera correntes que se opõem à mudança do fluxo).
  • Depois, para achar a corrente, usa-se a lei de Ohm: I=\dfrac{|\mathcal{E}|}{R},onde usamos o valor absoluto da fem para obter a intensidade da corrente (o sinal da fem indica sentido).

Passo 3

Calcular a área da espira passo a passo:
  • Fórmula da área da circunferência: A=\pi r^{2}.
  • Substituindo r=0,05\\ \text{m}: A=\pi\,(0,05)^{2}=\pi\cdot0,0025=0,0025\pi\\ \text{m}^{2}.
Mantenho a forma 0,0025\pi para evitar arredondamentos prematuros; depois faço a avaliação numérica.

Passo 4

Aplicar Faraday para obter a fem (mostrando todos os passos algébricos):
  • Usando \mathcal{E} = -A\,\dfrac{dB}{dt}, temos \mathcal{E} = -\bigl(0,0025\pi\bigr)\cdot\bigl(0,0020\bigr)\\ \text{V}.
  • Multiplicando os números: 0,0025\cdot0,0020 = 0,000005 = 5\cdot10^{-6}.Então \mathcal{E} = -5\pi\cdot10^{-6}\\ \text{V}.
  • Valor numérico aproximado (avaliando \pi\approx3,1416): \mathcal{E} \approx -5\cdot3,1416\cdot10^{-6}\\ \text{V} = -1,57\cdot10^{-5}\\ \text{V}.
Observação didática: o sinal negativo indica que a fem age para contrariar o aumento do campo; se o enunciado pedir apenas o módulo, usa-se |\mathcal{E}|=1,57\cdot10^{-5}\\ \text{V}.

Passo 5

Calcular a corrente induzida usando a lei de Ohm:
  • A intensidade da corrente é I=\dfrac{|\mathcal{E}|}{R}.
  • Substituindo |\mathcal{E}|=5\pi\cdot10^{-6}\\ \text{V} e R=5\\ \Omega: I=\dfrac{5\pi\cdot10^{-6}}{5}=\pi\cdot10^{-6}\\ \text{A}.
  • Valor numérico: I\approx 3,1416\cdot10^{-6}\\ \text{A}=3,14\cdot10^{-6}\\ \text{A}.
Pequeno comentário amigo: é uma corrente muito pequena (microampères), por isso galvanômetros sensíveis são usados nesses experimentos.

Resposta

\mathcal{E} = 5\pi\cdot10^{-6}\\ \text{V} \approx 1,57\cdot10^{-5}\\ \text{V} (módulo da fem induzida)\n
I = \pi\cdot10^{-6}\\ \text{A} \approx 3,14\cdot10^{-6}\\ \text{A}

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