A ligação molecular em uma molécula diatômica, como a molécula de nitrogênio \left(\mathrm{N}_{2}\right), pode ser modelada pelo potencial de Lenard-Jones, que tem a forma
U(x)=4 U_{0}\left[\left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{12}-\left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{6}\right]
onde x é a distância de separação entre os dois núcleos e x_{0} e U_{0} são constantes. Determine, em termos dessas constantes: (a) a função força correspondente; (b) a separação de equilíbrio, que é o valor de x>0 para o qual os dois átomos sofrem força zero entre si; (c) esboce o gráfico de U(x); (d) Qual a natureza da interação (repulsão ou atração) para separação maiores ou menores do que x_{0} ? Resp.: (a) F(x)=-\left(24 U_{0} / x\right)\left[\left(x_{0} / x\right)^{6}-2\left(x_{0} / x\right)^{12}\right]; (b) x=x_{0} \sqrt[6]{2}; (c) -; (d) repulsão, para distâncias menores e atração para maiores.

Passo 1

O enunciado dá o potencial de Lennard-Jones
U(x)=4U_{0}\left[\left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{12}-\left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{6}\right],
onde x é a separação entre núcleos e x_{0},U_{0} são constantes positivas. Ele pede:
(a) a função força correspondente;
(b) a separação de equilíbrio x>0 onde a força é zero;
(c) esboçar/descrever o gráfico de U(x);
(d) dizer se a interação é de repulsão ou atração para separações maiores ou menores que x_{0}.

Passo 2

Primeiro, qual é a relação entre potencial e força? A regra que usamos é esta: a força resultante na direção do aumento de x é o negativo da derivada do potencial em relação a x. Em fórmulas,
F(x)=-\frac{dU}{dx}.
Explicando devagar: U(x) é energia potencial; dU/dx mede como essa energia muda quando a separação muda; o sinal menos vem porque, quando a energia aumenta com x ( dU/dx>0), a força tende a reduzir x (força negativa), e vice‑versa. Aqui F(x) é a força que age para aumentar x se F>0 e para diminuir x se F<0.

Passo 3

Agora vamos derivar U(x) passo a passo usando regras básicas de derivação (regra do poder e da constante). Escrevo U(x) em forma que fica fácil derivar:
U(x)=4U_{0}\Big(x_{0}^{12}x^{-12}-x_{0}^{6}x^{-6}\Big).
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(x^{-12}\big)=-12x^{-13},\qquad \frac{d}{dx}\big(x^{-6}\big)=-6x^{-7}.
Então
\frac{dU}{dx}=4U_{0}\big(-12x_{0}^{12}x^{-13}+6x_{0}^{6}x^{-7}\big).
Aplicando F(x)=-\dfrac{dU}{dx} obtemos
F(x)=-4U_{0}\big(-12x_{0}^{12}x^{-13}+6x_{0}^{6}x^{-7}\big) =4U_{0}\big(12x_{0}^{12}x^{-13}-6x_{0}^{6}x^{-7}\big).
Fatorando 24U_{0} e escrevendo em potências de \dfrac{x_{0}}{x} para ficar bonito:
F(x)=24U_{0}\Big(2x_{0}^{12}x^{-13}-x_{0}^{6}x^{-7}\Big) =-\frac{24U_{0}}{x}\left[\left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{6}-2\left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{12}\right].
Pronto: esta é a expressão da força (está só reorganizada para parecer com o enunciado).

Passo 4

Agora encontramos a separação de equilíbrio: isto é x>0 tal que F(x)=0. Use a expressão fatorada:
F(x)=-\frac{24U_{0}}{x}\left[\left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{6}-2\left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{12}\right]=0.
Como U_{0}>0 e x>0, o fator -\dfrac{24U_{0}}{x} não é zero, então o que precisa zerar é o colchete. Faça
\left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{6}-2\left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{12}=0.
Fatora \left(\dfrac{x_{0}}{x}\right)^{6}:
\left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{6}\Big(1-2\left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{6}\Big)=0.
A primeira fatorização não zera para x>0, então
1-2\left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{6}=0\quad\Rightarrow\quad \left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{6}=\frac{1}{2}.
Invertendo e tomando a sexta raiz:
\frac{x}{x_{0}}=2^{1/6}\quad\Rightarrow\quad x=x_{0}\,2^{1/6}.
Dica útil (que aparece frequentemente em provas): substituindo esse valor no potencial chega-se a
U\big(x_{0}2^{1/6}\big)=-U_{0},
ou seja, o mínimo do poço tem profundidade -U_{0}.

Passo 5

Agora descrevo/esboço qualitativo do gráfico de U(x) e os comportamentos-limite — isso ajuda a desenhar à mão na prova.
  • Comportamento quando x\to 0^{+}: o termo \left(\dfrac{x_{0}}{x}\right)^{12} domina e cresce muito; portanto \;U(x)\to +\infty. Isso representa uma parede repulsiva muito íngreme para distâncias muito pequenas.
  • Comportamento quando x\to\infty: ambos os termos vão para zero, mas o termo em \left(\dfrac{x_{0}}{x}\right)^{6} domina negativamente; então \;U(x)\to 0^{-} (aproxima-se de zero por baixo). Isso é a cauda atrativa de longo alcance.
  • Ponto notável: em x=x_{0} temos
U(x_{0})=4U_{0}\big(1-1\big)=0,
ou seja, o potencial cruza zero em x=x_{0}. Em x=x_{0}2^{1/6} há um mínimo e U=-U_{0}.
  • Esboço mental: para desenhar, coloque uma parede vertical para x pequeno (U grande positiva), desça rapidamente a um mínimo em x=x_{0}2^{1/6} com valor -U_{0}, e depois suba assintoticamente para 0 por baixo quando x\to\infty. Marque x_{0} onde U cruza o eixo horizontal e x_{0}2^{1/6} onde está o mínimo.

Passo 6

Finalmente, qual é a natureza (repulsão/atração) para separações maiores ou menores que x_{0}?
  • Uma resposta comum e direta (a que o enunciado espera): para separações menores que x_{0} a interação é repulsiva e para separações maiores que x_{0} a interação é atrativa. Isso vem do fato de U(x)>0 para x<x_{0} e U(x)<0 para x>x_{0}: dentro de x_{0} predomina a parte repulsiva de curto alcance; fora de x_{0} predomina a atração de Van der Waals.
  • Observação mais precisa (útil em prova se pedirem): o ponto onde a força se anula é x=x_{0}2^{1/6}. Para x<x_{0}2^{1/6} a força aponta para aumentar x (ou seja, é repulsiva); para x>x_{0}2^{1/6} a força aponta para diminuir x (ou seja, é atrativa). Note que x_{0}2^{1/6}>x_{0}, então existe uma faixa x_{0}<x<x_{0}2^{1/6} onde o potencial já é negativo mas a força ainda é repulsiva (é importante entender a diferença entre sinal do potencial e sinal da força).

Resposta

(a) F(x)=-\dfrac{24U_{0}}{x}\left[\left(\dfrac{x_{0}}{x}\right)^{6}-2\left(\dfrac{x_{0}}{x}\right)^{12}\right]
(b) x=x_{0}\,2^{1/6}
(c) Gráfico: U(x)\to+\infty quando x\to0^{+}; U(x_{0})=0; mínimo U=-U_{0} em x=x_{0}2^{1/6}; U(x)\to0^{-} quando x\to\infty.
(d) Repulsão para distâncias menores que x_{0} e atração para distâncias maiores que x_{0}.

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