A ligação molecular em uma molécula diatômica, como a molécula de nitrogênio
, pode ser modelada pelo potencial de Lenard-Jones, que tem a forma
onde
é a distância de separação entre os dois núcleos e
e
são constantes. Determine, em termos dessas constantes: (a) a função força correspondente; (b) a separação de equilíbrio, que é o valor de
para o qual os dois átomos sofrem força zero entre si; (c) esboce o gráfico de
; (d) Qual a natureza da interação (repulsão ou atração) para separação maiores ou menores do que
? Resp.: (a)
; (b)
; (c) -; (d) repulsão, para distâncias menores e atração para maiores.
Passo 1
O enunciado dá o potencial de Lennard-Jones
onde
é a separação entre núcleos e
são constantes positivas. Ele pede:
(a) a função força correspondente;
(b) a separação de equilíbrio onde a força é zero;
(c) esboçar/descrever o gráfico de ;
(d) dizer se a interação é de repulsão ou atração para separações maiores ou menores que .
(a) a função força correspondente;
(b) a separação de equilíbrio
(c) esboçar/descrever o gráfico de
(d) dizer se a interação é de repulsão ou atração para separações maiores ou menores que
Passo 2
Primeiro, qual é a relação entre potencial e força? A regra que usamos é esta: a força resultante na direção do aumento de
é o negativo da derivada do potencial em relação a
. Em fórmulas,
Explicando devagar:
é energia potencial;
mede como essa energia muda quando a separação muda; o sinal menos vem porque, quando a energia aumenta com
(
), a força tende a reduzir
(força negativa), e vice‑versa. Aqui
é a força que age para aumentar
se
e para diminuir
se
.
Passo 3
Agora vamos derivar
passo a passo usando regras básicas de derivação (regra do poder e da constante). Escrevo
em forma que fica fácil derivar:
Derivando termo a termo:
Então
Aplicando
obtemos
Fatorando
e escrevendo em potências de
para ficar bonito:
Pronto: esta é a expressão da força (está só reorganizada para parecer com o enunciado).
Passo 4
Agora encontramos a separação de equilíbrio: isto é
tal que
. Use a expressão fatorada:
Como
e
, o fator
não é zero, então o que precisa zerar é o colchete. Faça
Fatora
:
A primeira fatorização não zera para
, então
Invertendo e tomando a sexta raiz:
Dica útil (que aparece frequentemente em provas): substituindo esse valor no potencial chega-se a
ou seja, o mínimo do poço tem profundidade
.
Passo 5
Agora descrevo/esboço qualitativo do gráfico de
e os comportamentos-limite — isso ajuda a desenhar à mão na prova.
- Comportamento quando
: o termo domina e cresce muito; portanto . Isso representa uma parede repulsiva muito íngreme para distâncias muito pequenas. - Comportamento quando
: ambos os termos vão para zero, mas o termo em domina negativamente; então (aproxima-se de zero por baixo). Isso é a cauda atrativa de longo alcance. - Ponto notável: em
temos
ou seja, o potencial cruza zero em
. Em
há um mínimo e
.
- Esboço mental: para desenhar, coloque uma parede vertical para
pequeno (U grande positiva), desça rapidamente a um mínimo em com valor , e depois suba assintoticamente para por baixo quando . Marque onde cruza o eixo horizontal e onde está o mínimo.
Passo 6
Finalmente, qual é a natureza (repulsão/atração) para separações maiores ou menores que
?
- Uma resposta comum e direta (a que o enunciado espera): para separações menores que
a interação é repulsiva e para separações maiores que a interação é atrativa. Isso vem do fato de para e para : dentro de predomina a parte repulsiva de curto alcance; fora de predomina a atração de Van der Waals. - Observação mais precisa (útil em prova se pedirem): o ponto onde a força se anula é
. Para a força aponta para aumentar (ou seja, é repulsiva); para a força aponta para diminuir (ou seja, é atrativa). Note que , então existe uma faixa onde o potencial já é negativo mas a força ainda é repulsiva (é importante entender a diferença entre sinal do potencial e sinal da força).
Resposta
(a)
(b)
(c) Gráfico: quando
;
; mínimo
em
;
quando
.
(d) Repulsão para distâncias menores que e atração para distâncias maiores que
.
(b)
(c) Gráfico:
(d) Repulsão para distâncias menores que