A posição x(t) de uma partícula que está se movendo ao longo do eixo x é x=4.0+6,0 t^{2}, com x \mathrm{em} metros e t \mathrm{em} segundos. (a) Em que instante e (b) em que posição a partícula pára momentaneamente? Em que (c) instante negativo e (d) instante positivo a partícula passa pela origem? (e) Plote o gráfico de x em função de t no intervalo de -5 \mathrm{s} a +5 \mathrm{~s}. (f) Para deslocar a curva para a direita no gráfico, devemos acrescentar o termo +20t ou o termo -20t a x(t) ? (g) Essa modificação aumenta ou diminui o valor de t para o qual a partícula pára momentaneamente?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • A posição da partícula é x(t)=4,0+6,0\,t^{2}, com x em metros e t em segundos.
  • Perguntas (a)–(g):
    • (a) Em que instante a partícula pára momentaneamente?
    • (b) Em que posição a partícula pára momentaneamente?
    • (c) Em que instante negativo a partícula passa pela origem ( x=0)?
    • (d) Em que instante positivo a partícula passa pela origem ( x=0)?
    • (e) Plote o gráfico de x em função de t no intervalo [-5\\ \text{s},+5\\ \text{s}].
    • (f) Para deslocar a curva para a direita no gráfico, devemos acrescentar o termo +20t ou o termo -20t a x(t)?
    • (g) Essa modificação aumenta ou diminui o valor de t para o qual a partícula pára momentaneamente?

Passo 2

Entendendo o que significa “pára momentaneamente” e como achar isso (a mini-aula prática).
  • “Parar momentaneamente” significa que a velocidade instantânea passa por zero naquele instante. Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
  • Vou calcular a velocidade v(t) usando derivada. Para função polinomial a derivada é feita termo a termo: v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(4,0+6,0\,t^{2}\bigr).
    • A derivada de 4,0 (constante) é 0.
    • A derivada de 6,0\,t^{2} é 6,0\cdot 2\,t=12,0\,t.
      Portanto
    v(t)=12,0\,t.
  • Explicando: v(t) dá a rapidez e sinal (direção) da partícula. Para achar onde v=0 fazemos 12,0\,t=0.

Passo 3

Resolver v(t)=0 para achar o instante em que pára (resolução passo a passo).
  • Igualando: 12,0\,t=0.
  • Dividindo ambos os lados por 12,0 (número não nulo): t=0.
  • Conclusão: a partícula pára momentaneamente em t=0\\ \text{s}. (Resposta do item (a).)

Passo 4

Achar a posição correspondente ao instante t=0 (item (b)), substituindo na função posição.
  • Substituir t=0 em x(t): x(0)=4,0+6,0\cdot 0^{2}=4,0+0=4,0\\ \text{m}.
  • Conclusão: a partícula pára momentaneamente na posição x=4,0\\ \text{m}. (Resposta do item (b).)

Passo 5

Verificar quando a partícula passa pela origem ( x=0) — resolvendo a equação x(t)=0 para instantes positivos e negativos (itens (c) e (d)).
  • Escrever a equação: 4,0+6,0\,t^{2}=0.
  • Isolar t^{2}: 6,0\,t^{2}=-4,0 \quad\Rightarrow\quad t^{2}=-\frac{4,0}{6,0}=-\frac{2}{3}.
  • Observação importante: t^{2} é sempre maior ou igual a zero para t real. Aqui obtemos t^{2}=-\tfrac{2}{3}, que é um número negativo, logo não existe solução real.
  • Conclusão: a partícula nunca atinge x=0. Portanto não há instante negativo nem positivo em que ela passe pela origem — ambos os itens (c) e (d) não existem (ou seja, “nenhum”).

Passo 6

Preparar o material e instruções para o gráfico de x versus t no intervalo [-5,5] (item (e)). Mini-aula sobre forma da curva e pontos-chave.
  • A função x(t)=4,0+6,0\,t^{2} é uma parábola em t com coeficiente de t^{2} positivo; isso significa que:
    • A parábola abre para cima (no gráfico x vs t, o valor mínimo é no vértice).
    • O vértice está em t=0 (porque não há termo linear em t) e o valor mínimo é x(0)=4,0\\ \text{m}.
    • A função é simétrica em relação a t=0: x(-t)=x(t).
  • Para desenhar com precisão, eu calculo alguns pontos no intervalo pedido. Montar uma tabela (faça esses cálculos na prova; eu mostro os passos):
    • Para t=\pm5: x(\pm5)=4,0+6,0\cdot 5^{2}=4,0+6,0\cdot 25=4,0+150=154,0\\ \text{m}.
    • Para t=\pm4: x(\pm4)=4,0+6,0\cdot 16=4,0+96=100,0\\ \text{m}.
    • Para t=\pm3: x(\pm3)=4,0+6,0\cdot 9=4,0+54=58,0\\ \text{m}.
    • Para t=\pm2: x(\pm2)=4,0+6,0\cdot 4=4,0+24=28,0\\ \text{m}.
    • Para t=\pm1: x(\pm1)=4,0+6,0\cdot 1=4,0+6,0=10,0\\ \text{m}.
    • Para t=0: x(0)=4,0\\ \text{m}.
  • Esses pontos mostram claramente a simetria e a forma da parábola. Na prova, marque os pares (t,x) e una suavemente formando a curva parabólica com mínimo em (0,4,0).

Passo 7

Instruções práticas para desenhar o gráfico à mão (detalhes que funcionam bem na prova).
  • Eixos: coloque t no eixo horizontal (de -5 a +5 s) e x no eixo vertical (de 0 a, digamos, 160 m para caber 154 m).
  • Marque os pontos calculados: (-5,154), (-4,100), (-3,58), (-2,28), (-1,10), (0,4), (1,10), (2,28), (3,58), (4,100), (5,154).
  • Una os pontos com uma curva suave e simétrica; o mínimo é em (0,4). Rotule os eixos e os pontos importantes.
  • Observação didática: se for desenhar rápido, basta marcar o vértice e alguns pontos simétricos de cada lado; a parábola fica evidente.

Passo 8

Analisar o efeito de acrescentar um termo linear A t a x(t) (itens (f) e (g)). Mini-aula sobre o que um termo linear faz aqui.
  • Considere a função modificada x_{\text{mod}}(t)=4,0+6,0\,t^{2}+A\,t,onde A é +20 ou -20.
  • A nova velocidade é v_{\text{mod}}(t)=\frac{dx_{\text{mod}}}{dt}=12,0\,t+A.
  • O instante em que a partícula pára agora satisfaz v_{\text{mod}}(t)=0, ou seja 12,0\,t+A=0 \quad\Rightarrow\quad t=-\frac{A}{12,0}.Isso é a fórmula prática: o termo linear desloca o tempo do vértice (ou seja, o instante de parada) para -A/12,0. Note que:
    • Se A>0 então t fica negativo (vértice deslocado para a esquerda).
    • Se A<0 então t fica positivo (vértice deslocado para a direita).
  • Aplicando aos casos:
    • Para A=+20: t=-\frac{20}{12,0}=-\frac{5}{3}\\ \text{s}\approx-1,667\\ \text{s}.O vértice (parada) vai para a esquerda (instante negativo).
    • Para A=-20: t=-\frac{-20}{12,0}=+\frac{5}{3}\\ \text{s}\approx+1,667\\ \text{s}.O vértice vai para a direita (instante positivo).
  • Agora respondo claramente (f): para deslocar a curva (o vértice/parada) para a direita, entre as duas opções dadas ( +20t ou -20t), devemos acrescentar o termo -20t.
  • E (g): acrescentar -20t aumenta o valor de t no qual a partícula pára (de 0 para +\tfrac{5}{3}\\ \text{s}). Acrescentar +20t diminuiria o valor de t (de 0 para -\tfrac{5}{3}\\ \text{s}).

Resposta

(a) t=0\\ \text{s}
(b) x=4,0\\ \text{m}
(c) Nenhum (não existe instante negativo; x=0 não é atingido)
(d) Nenhum (não existe instante positivo; x=0 não é atingido)
(e) Gráfico: parábola x(t)=4,0+6,0\,t^{2} com vértice em (0,4,0) e pontos (-5,154),( -4,100),(-3,58),(-2,28),(-1,10),(0,4),(1,10),(2,28),(3,58),(4,100),(5,154) — unir suavemente para desenhar.
(f) Acrescentar o termo -20t.
(g) Acrescentar -20t aumenta o valor de t da parada (de 0 para +\tfrac{5}{3}\\ \text{s}).

Exercícios relacionados