A posição x(t) de uma partícula que está se movendo ao longo do eixo
é
, com
metros e
segundos. (a) Em que instante e (b) em que posição a partícula pára momentaneamente? Em que (c) instante negativo e (d) instante positivo a partícula passa pela origem? (e) Plote o gráfico de
em função de
no intervalo de
a
. (f) Para deslocar a curva para a direita no gráfico, devemos acrescentar o termo +20t ou o termo -20t a
? (g) Essa modificação aumenta ou diminui o valor de
para o qual a partícula pára momentaneamente?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dados do enunciado:
- A posição da partícula é
, com em metros e em segundos.
- A posição da partícula é
- Perguntas (a)–(g):
- (a) Em que instante a partícula pára momentaneamente?
- (b) Em que posição a partícula pára momentaneamente?
- (c) Em que instante negativo a partícula passa pela origem (
)? - (d) Em que instante positivo a partícula passa pela origem (
)? - (e) Plote o gráfico de
em função de no intervalo . - (f) Para deslocar a curva para a direita no gráfico, devemos acrescentar o termo
ou o termo a ? - (g) Essa modificação aumenta ou diminui o valor de
para o qual a partícula pára momentaneamente?
Passo 2
Entendendo o que significa “pára momentaneamente” e como achar isso (a mini-aula prática).
- “Parar momentaneamente” significa que a velocidade instantânea passa por zero naquele instante. Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
- Vou calcular a velocidade
usando derivada. Para função polinomial a derivada é feita termo a termo: - A derivada de
(constante) é . - A derivada de
é .
Portanto
- A derivada de
- Explicando:
dá a rapidez e sinal (direção) da partícula. Para achar onde fazemos .
Passo 3
Resolver
para achar o instante em que pára (resolução passo a passo).
- Igualando:
- Dividindo ambos os lados por
(número não nulo): - Conclusão: a partícula pára momentaneamente em
. (Resposta do item (a).)
Passo 4
Achar a posição correspondente ao instante
(item (b)), substituindo na função posição.
- Substituir
em : - Conclusão: a partícula pára momentaneamente na posição
. (Resposta do item (b).)
Passo 5
Verificar quando a partícula passa pela origem (
) — resolvendo a equação
para instantes positivos e negativos (itens (c) e (d)).
- Escrever a equação:
- Isolar
: - Observação importante:
é sempre maior ou igual a zero para real. Aqui obtemos , que é um número negativo, logo não existe solução real. - Conclusão: a partícula nunca atinge
. Portanto não há instante negativo nem positivo em que ela passe pela origem — ambos os itens (c) e (d) não existem (ou seja, “nenhum”).
Passo 6
Preparar o material e instruções para o gráfico de
versus
no intervalo
(item (e)). Mini-aula sobre forma da curva e pontos-chave.
- A função
é uma parábola em com coeficiente de positivo; isso significa que: - A parábola abre para cima (no gráfico
vs , o valor mínimo é no vértice). - O vértice está em
(porque não há termo linear em ) e o valor mínimo é . - A função é simétrica em relação a
: .
- A parábola abre para cima (no gráfico
- Para desenhar com precisão, eu calculo alguns pontos no intervalo pedido. Montar uma tabela (faça esses cálculos na prova; eu mostro os passos):
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
- Para
- Esses pontos mostram claramente a simetria e a forma da parábola. Na prova, marque os pares
e una suavemente formando a curva parabólica com mínimo em .
Passo 7
Instruções práticas para desenhar o gráfico à mão (detalhes que funcionam bem na prova).
- Eixos: coloque
no eixo horizontal (de a s) e no eixo vertical (de a, digamos, m para caber m). - Marque os pontos calculados:
, , , , , , , , , , . - Una os pontos com uma curva suave e simétrica; o mínimo é em
. Rotule os eixos e os pontos importantes. - Observação didática: se for desenhar rápido, basta marcar o vértice e alguns pontos simétricos de cada lado; a parábola fica evidente.
Passo 8
Analisar o efeito de acrescentar um termo linear
a
(itens (f) e (g)). Mini-aula sobre o que um termo linear faz aqui.
- Considere a função modificada
onde é ou . - A nova velocidade é
- O instante em que a partícula pára agora satisfaz
, ou seja Isso é a fórmula prática: o termo linear desloca o tempo do vértice (ou seja, o instante de parada) para . Note que: - Se
então fica negativo (vértice deslocado para a esquerda). - Se
então fica positivo (vértice deslocado para a direita).
- Se
- Aplicando aos casos:
- Para
: O vértice (parada) vai para a esquerda (instante negativo). - Para
: O vértice vai para a direita (instante positivo).
- Para
- Agora respondo claramente (f): para deslocar a curva (o vértice/parada) para a direita, entre as duas opções dadas (
ou ), devemos acrescentar o termo . - E (g): acrescentar
aumenta o valor de no qual a partícula pára (de para ). Acrescentar diminuiria o valor de (de para ).
Resposta
(a)
(b)
(c) Nenhum (não existe instante negativo; não é atingido)
(d) Nenhum (não existe instante positivo; não é atingido)
(e) Gráfico: parábola com vértice em
e pontos
— unir suavemente para desenhar.
(f) Acrescentar o termo .
(g) Acrescentar aumenta o valor de
da parada (de
para
).
(b)
(c) Nenhum (não existe instante negativo;
(d) Nenhum (não existe instante positivo;
(e) Gráfico: parábola
(f) Acrescentar o termo
(g) Acrescentar