Uma partícula de massa m, movendo-se no plano x y está confinada por uma função de potencial bidimensional U(x, y)=\frac{1}{2} k\left(x^{2}+y^{2}\right), sendo k uma constante positiva. (a) Derive uma expressão para o vetor força resultante; (b) Encontre o ponto de equilíbrio no plano x y. Descreva, de forma qualitativa o efeito da força resultante; (d) Qual é o módulo da força resultante sobre a partícula na coordenada ( 3,4 ), em centímetros, se k=10 \mathrm{~N} / \mathrm{cm} ? (e) quais os pontos de inflexão se a partícula tiver 10 J de energia mecânica total? (Pontos de inflexão, ou de retorno, são aqueles nos quais a partícula para momentaneamente para inverter o sentido do movimento). Resp.: (a) \vec{F}(x, y)=(x, y); (b) ponto ( 0,0 ); (c) força atrativa em torno da origem; (d) 50 N ; (e) pontos ao longo da circunferência de raio R=(20 / k) centrada na origem.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar claramente tudo o que foi dado e as perguntas):
  • Dado: potencial bidimensional U(x,y)=\tfrac{1}{2}k\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr), com k>0 e partícula de massa m movendo-se no plano xy.
  • Perguntas:
    (a) Derivar uma expressão para o vetor força resultante \vec{F}(x,y).
    (b) Encontrar o ponto de equilíbrio no plano xy.
    (c) Descrever qualitativamente o efeito da força resultante (comportamento físico ao redor do equilíbrio).
    (d) Calcular o módulo da força resultante na coordenada (3,4) (em centímetros), se k=10\\ \mathrm{N/cm}.
    (e) Determinar os pontos de inflexão (pontos de retorno) se a partícula tiver energia mecânica total E=10\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar para relacionar potencial e força. Aula rápida e prática:
  • Se uma partícula está sujeita a um potencial escalar U(x,y), a força conservativa associada é (isso é padrão em mecânica clássica)
\vec{F}(x,y)=-\nabla U(x,y),
onde \nabla U é o gradiente de U. O gradiente em duas dimensões é definido por
\nabla U=\left(\frac{\partial U}{\partial x},\;\frac{\partial U}{\partial y}\right).
  • Interpretação física: \frac{\partial U}{\partial x} é a taxa de variação de U quando se desloca em x; o sinal negativo indica que a força puxa “para baixo” da rampa de energia, isto é, no sentido de diminuir U.
Agora aplicamos isso ao nosso U(x,y)=\tfrac{1}{2}k(x^{2}+y^{2}).
Calcule as derivadas parciais passo a passo:
\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\tfrac{1}{2}k x^{2}+\tfrac{1}{2}k y^{2}\right)=\tfrac{1}{2}k\cdot 2x=kx,
\frac{\partial U}{\partial y}=ky.
Portanto o gradiente é \nabla U=(kx,\;ky). Usando \vec{F}=-\nabla U temos
\vec{F}(x,y)=-k x\,\hat{\imath}-k y\,\hat{\jmath}=-k\,(x,y).
Isto significa que a força em cada ponto é proporcional ao vetor posição (x,y) mas apontando no sentido oposto (ou seja, dirigida ao centro).

Passo 3

Encontrar o ponto de equilíbrio e analisar estabilidade.
  • Ponto de equilíbrio é onde a força resultante é nula: \vec{F}(x,y)=\vec{0}.
  • Resolve-se -k x=0 e -k y=0 (lembre que k\neq0), então
x=0,\qquad y=0.
Logo o único ponto de equilíbrio é (0,0).
Análise qualitativa de estabilidade (por que é um mínimo estável):
  • Para checar se é mínimo ou máximo de U podemos olhar às segundas derivadas. As segundas derivadas são
\frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}=k,\qquad \frac{\partial^{2}U}{\partial y^{2}}=k,\qquad \frac{\partial^{2}U}{\partial x\partial y}=0.
A matriz Hessiana é diagonal com entradas k>0, portanto positiva definida; isso diz que U tem um mínimo em (0,0). Para forças conservativas, mínimo de U corresponde a equilíbrio estável.
  • Interpretação física simples e concreta: a força é restauradora — sempre aponta para a origem e tem módulo proporcional à distância ao centro. É exatamente o caso de um oscilador harmônico isotrópico bidimensional (como duas molas linearmente acopladas, uma em x e outra em y, com constante k em cada direção). Se a partícula for deslocada um pouco do centro, a força a puxará de volta; ela pode oscilar em torno da origem, descrevendo trajetórias elípticas (ou circulares) dependendo das condições iniciais.

Passo 4

Cálculo do módulo da força em (3,4) com k=10\\ \mathrm{N/cm}.
  • Primeiro, o vetor posição em coordenadas dadas (em centímetros) é (x,y)=(3,\;4) cm.
  • Módulo do vetor posição: r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\ \text{cm}.
  • O módulo da força, a partir de \vec{F}=-k(x,y), é |\vec{F}|=k\,r (porque |(x,y)|=r e k>0).
  • Substituindo k=10\\ \mathrm{N/cm} e r=5\\ \mathrm{cm}:
|\vec{F}|=10\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{cm}}\times 5\\ \mathrm{cm}=50\\ \mathrm{N}.
Observação sobre unidades: como k está em \mathrm{N/cm} e r em \mathrm{cm}, o produto dá \mathrm{N}, consistente.

Passo 5

Pontos de inflexão (pontos de retorno) para energia total E=10\\ \mathrm{J}.
  • Definição prática de ponto de retorno: instante em que a velocidade (energia cinética) é zero, então toda a energia mecânica está na forma potencial: E=U(x,y).
  • Como U depende só de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, escrevemos
E=\tfrac{1}{2}k r^{2}.
  • Isolando r:
r=\sqrt{\frac{2E}{k}}.
Isto significa que os pontos de retorno são todos os pontos do plano que satisfazem \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{\tfrac{2E}{k}}, ou seja, a circunferência centrada na origem com raio r=\sqrt{2E/k}.
Aplicando ao caso numérico E=10\\ \mathrm{J}: a expressão fica
r=\sqrt{\frac{20}{k}}.
  • Atenção às unidades: para usar E=10\\ \mathrm{J} diretamente nesta fórmula, k deve estar em unidades compatíveis com o Sistema Internacional, isto é em \mathrm{N/m}. Se alguém der k em \mathrm{N/cm} (como em (d)), é preciso converter antes. Por exemplo, se k=10\\ \mathrm{N/cm}, então k=10\times 100\\ \mathrm{N/m}=1000\\ \mathrm{N/m}. Nesse caso numérico:
r=\sqrt{\frac{20}{1000}}=\sqrt{0,02}=0,141421356\ldots\\ \mathrm{m}=14{,}142\\ \mathrm{cm}.
Portanto, com k em \mathrm{N/m} usa-se a primeira forma; se k estiver em \mathrm{N/cm} converter para \mathrm{N/m} antes de calcular para obter r em metros, ou manter todas as unidades em centímetros coerentemente.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{F}(x,y)=-k\,x\,\hat{\imath}-k\,y\,\hat{\jmath}=-k\,(x,y)
(b) (0,0)
(c) Força restauradora (atrativa) dirigida para a origem, com módulo proporcional à distância ao centro — comportamento de um oscilador harmônico isotrópico (pequenos deslocamentos levam a oscilações em torno da origem).
(d) 50\\ \mathrm{N}
(e) pontos sobre a circunferência centrada na origem de raio \displaystyle r=\sqrt{\frac{2E}{k}}=\sqrt{\frac{20}{k}} (numérico, se k=10\\ \mathrm{N/cm} e convertendo para \mathrm{N/m}, obtém-se r\approx 0{,}1414\\ \mathrm{m}=14{,}14\\ \mathrm{cm}).

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