Uma partícula de massa
, movendo-se no plano
está confinada por uma função de potencial bidimensional
, sendo
uma constante positiva. (a) Derive uma expressão para o vetor força resultante; (b) Encontre o ponto de equilíbrio no plano
. Descreva, de forma qualitativa o efeito da força resultante; (d) Qual é o módulo da força resultante sobre a partícula na coordenada ( 3,4 ), em centímetros, se
? (e) quais os pontos de inflexão se a partícula tiver 10 J de energia mecânica total? (Pontos de inflexão, ou de retorno, são aqueles nos quais a partícula para momentaneamente para inverter o sentido do movimento). Resp.: (a)
; (b) ponto ( 0,0 ); (c) força atrativa em torno da origem; (d) 50 N ; (e) pontos ao longo da circunferência de raio
centrada na origem.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar claramente tudo o que foi dado e as perguntas):
- Dado: potencial bidimensional
com e partícula de massa movendo-se no plano . - Perguntas:
(a) Derivar uma expressão para o vetor força resultante.
(b) Encontrar o ponto de equilíbrio no plano.
(c) Descrever qualitativamente o efeito da força resultante (comportamento físico ao redor do equilíbrio).
(d) Calcular o módulo da força resultante na coordenada(em centímetros), se .
(e) Determinar os pontos de inflexão (pontos de retorno) se a partícula tiver energia mecânica total.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar para relacionar potencial e força. Aula rápida e prática:
- Se uma partícula está sujeita a um potencial escalar
, a força conservativa associada é (isso é padrão em mecânica clássica)
onde
é o gradiente de
. O gradiente em duas dimensões é definido por
- Interpretação física:
é a taxa de variação de quando se desloca em ; o sinal negativo indica que a força puxa “para baixo” da rampa de energia, isto é, no sentido de diminuir .
Agora aplicamos isso ao nosso
.
Calcule as derivadas parciais passo a passo:
Calcule as derivadas parciais passo a passo:
Portanto o gradiente é
. Usando
temos
Isto significa que a força em cada ponto é proporcional ao vetor posição
mas apontando no sentido oposto (ou seja, dirigida ao centro).
Passo 3
Encontrar o ponto de equilíbrio e analisar estabilidade.
- Ponto de equilíbrio é onde a força resultante é nula:
. - Resolve-se
e (lembre que ), então
Logo o único ponto de equilíbrio é
.
Análise qualitativa de estabilidade (por que é um mínimo estável):
- Para checar se é mínimo ou máximo de
podemos olhar às segundas derivadas. As segundas derivadas são
A matriz Hessiana é diagonal com entradas
, portanto positiva definida; isso diz que
tem um mínimo em
. Para forças conservativas, mínimo de
corresponde a equilíbrio estável.
- Interpretação física simples e concreta: a força é restauradora — sempre aponta para a origem e tem módulo proporcional à distância ao centro. É exatamente o caso de um oscilador harmônico isotrópico bidimensional (como duas molas linearmente acopladas, uma em
e outra em , com constante em cada direção). Se a partícula for deslocada um pouco do centro, a força a puxará de volta; ela pode oscilar em torno da origem, descrevendo trajetórias elípticas (ou circulares) dependendo das condições iniciais.
Passo 4
Cálculo do módulo da força em
com
.
- Primeiro, o vetor posição em coordenadas dadas (em centímetros) é
cm. - Módulo do vetor posição:
- O módulo da força, a partir de
, é (porque e ). - Substituindo
e :
Observação sobre unidades: como
está em
e
em
, o produto dá
, consistente.
Passo 5
Pontos de inflexão (pontos de retorno) para energia total
.
- Definição prática de ponto de retorno: instante em que a velocidade (energia cinética) é zero, então toda a energia mecânica está na forma potencial:
. - Como
depende só de , escrevemos
- Isolando
:
Isto significa que os pontos de retorno são todos os pontos do plano que satisfazem
, ou seja, a circunferência centrada na origem com raio
.
Aplicando ao caso numérico
: a expressão fica
- Atenção às unidades: para usar
diretamente nesta fórmula, deve estar em unidades compatíveis com o Sistema Internacional, isto é em . Se alguém der em (como em (d)), é preciso converter antes. Por exemplo, se , então . Nesse caso numérico:
Portanto, com
em
usa-se a primeira forma; se
estiver em
converter para
antes de calcular para obter
em metros, ou manter todas as unidades em centímetros coerentemente.
Resposta
(a)
(b)
(c) Força restauradora (atrativa) dirigida para a origem, com módulo proporcional à distância ao centro — comportamento de um oscilador harmônico isotrópico (pequenos deslocamentos levam a oscilações em torno da origem).
(d)
(e) pontos sobre a circunferência centrada na origem de raio
(numérico, se
e convertendo para
, obtém-se
).