Light that has a
wavelength and is from a helium-neon laser is shone normal to a plane having two slits. The first interference maximum is 82 cm from the central maximum on a screen 12 m away. (a) Find the separation of the slits. (b) How many interference maxima is it, in principle, possible to observe?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Comprimento de onda da luz:
. - A luz incide normal ao plano das fendas (ou seja, geometria usual de dupla fenda).
- O primeiro máximo de interferência (
) aparece a do máximo central na tela. (Peguei esse valor do enunciado.) - Distância da fenda até a tela:
. (Peguei esse valor do enunciado.)
O que se pede:
(a) determinar a separação entre as fendas .
(b) determinar quantos máximos de interferência, em princípio, é possível observar.
(a) determinar a separação entre as fendas
(b) determinar quantos máximos de interferência, em princípio, é possível observar.
Passo 2
Conceito e fórmula principal (explicação didática):
- Em uma experiência de dupla fenda, a condição de máxima construtiva (franja brilhante) é que a diferença de caminho entre as ondas vindas das duas fendas seja um múltiplo inteiro do comprimento de onda. Essa condição pode ser escrita como
onde:
-
é a separação entre as fendas (o que queremos em (a)), -
é o ângulo medido a partir da normal até a franja considerada na tela, -
é a ordem da franja (um inteiro: central, primeiro máximo, etc.), -
é o comprimento de onda da luz. - Geometricamente, para uma tela a distância
e uma franja a uma distância do centro, temos . Para ângulos pequenos (quando ) é comum usar a aproximação . Vou usar essa aproximação (bastante básica) e depois verificar a precisão comparando com o valor exato usando .
Passo 3
Aplicando a fórmula para o primeiro máximo (
) com a aproximação de pequeno ângulo:
- Temos
(peguei esse número do enunciado) e . - Com
, a relação fica (para )
- Substituindo os valores (primeiro escrevendo
em metros):
- Calcule passo a passo:
- Portanto, pela aproximação de pequeno ângulo obtemos
(ou ).
Passo 4
Verificação mais exata (sem a aproximação
):
- Exatamente,
. Então para
- Substituindo
, e :
- Comparando: o valor exato
difere muito pouco da aproximação . A aproximação de pequeno ângulo foi válida aqui porque . Vou adotar o valor mais preciso
Passo 5
Parte (b): quantos máximos, em princípio, podem ser observados?
- A equação para máximos é
. Como , a ordem máxima possível satisfaz
- Como
é inteiro, o maior possível é o inteiro mais próximo para baixo:
- Usando o valor exato de
e :
portanto
- Isso significa que são possíveis ordens
. O número total de máximos brilhantes (contando os dois lados da linha central e o máximo central) é
Passo 6
Resumo final e interpretação prática:
- A separação entre as fendas é da ordem de algumas dezenas de micrômetros; calculamos
. - Em princípio é possível observar até
máximos de cada lado do central, ou máximos no total (incluindo o central). Boa notícia: os números são pequenos o suficiente para contar manualmente as franjas numa tela grande, mas lembre-se que limitações práticas (intensidade decrescente, resolução do sistema, largura das fendas, difração de cada fenda etc.) podem reduzir o número observável na prática.
Resposta
Número total de máximos observáveis (em princípio):