Light that has a 633-\mathrm{nm} wavelength and is from a helium-neon laser is shone normal to a plane having two slits. The first interference maximum is 82 cm from the central maximum on a screen 12 m away. (a) Find the separation of the slits. (b) How many interference maxima is it, in principle, possible to observe?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Comprimento de onda da luz: \lambda = 633\\ \mathrm{nm}.
  • A luz incide normal ao plano das fendas (ou seja, geometria usual de dupla fenda).
  • O primeiro máximo de interferência ( m=1) aparece a 82\\ \mathrm{cm} do máximo central na tela. (Peguei esse valor do enunciado.)
  • Distância da fenda até a tela: L = 12\\ \mathrm{m}. (Peguei esse valor do enunciado.)
O que se pede:
(a) determinar a separação entre as fendas d.
(b) determinar quantos máximos de interferência, em princípio, é possível observar.

Passo 2

Conceito e fórmula principal (explicação didática):
  • Em uma experiência de dupla fenda, a condição de máxima construtiva (franja brilhante) é que a diferença de caminho entre as ondas vindas das duas fendas seja um múltiplo inteiro do comprimento de onda. Essa condição pode ser escrita como
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é a separação entre as fendas (o que queremos em (a)),
  • \theta é o ângulo medido a partir da normal até a franja considerada na tela,
  • m é a ordem da franja (um inteiro: m=0 central, m=1 primeiro máximo, etc.),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz.
  • Geometricamente, para uma tela a distância L e uma franja a uma distância y do centro, temos \tan\theta = y/L. Para ângulos pequenos (quando y \ll L) é comum usar a aproximação \sin\theta \approx \tan\theta \approx y/L. Vou usar essa aproximação (bastante básica) e depois verificar a precisão comparando com o valor exato usando \sin\theta = \dfrac{y}{\sqrt{y^2+L^2}}.

Passo 3

Aplicando a fórmula para o primeiro máximo ( m=1) com a aproximação de pequeno ângulo:
  • Temos y = 82\\ \mathrm{cm} = 0,82\\ \mathrm{m} (peguei esse número do enunciado) e L = 12\\ \mathrm{m}.
  • Com \sin\theta \approx \tan\theta \approx y/L, a relação d\sin\theta = m\lambda fica (para m=1)
d \approx \frac{\lambda L}{y}.
  • Substituindo os valores (primeiro escrevendo \lambda em metros):
\lambda = 633\\ \mathrm{nm} = 6{,}33\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
d \approx \frac{6{,}33\times10^{-7}\times 12}{0{,}82}.
  • Calcule passo a passo:
6{,}33\times10^{-7}\times 12 = 7{,}596\times10^{-6},
d \approx \frac{7{,}596\times10^{-6}}{0{,}82} \approx 9{,}2634\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Portanto, pela aproximação de pequeno ângulo obtemos d \approx 9{,}26\times10^{-6}\\ \mathrm{m} (ou 9{,}26\\ \mu\mathrm{m}).

Passo 4

Verificação mais exata (sem a aproximação \sin\theta\approx y/L):
  • Exatamente, \sin\theta = \dfrac{y}{\sqrt{y^2+L^2}}. Então para m=1
d = \frac{\lambda}{\sin\theta} = \frac{\lambda}{\dfrac{y}{\sqrt{y^2+L^2}}} = \lambda\frac{\sqrt{y^2+L^2}}{y}.
  • Substituindo y=0{,}82\\ \mathrm{m}, L=12\\ \mathrm{m} e \lambda=6{,}33\times10^{-7}\\ \mathrm{m}:
\sqrt{y^2+L^2}=\sqrt{0{,}82^2+12^2}=\sqrt{0{,}6724+144}= \sqrt{144{,}6724}\approx 12{,}02799\\ \mathrm{m},
d \approx 6{,}33\times10^{-7}\times\frac{12{,}02799}{0{,}82}\approx 6{,}33\times10^{-7}\times14{,}6634\approx 9{,}287\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Comparando: o valor exato 9{,}287\times10^{-6}\\ \mathrm{m} difere muito pouco da aproximação 9{,}263\times10^{-6}\\ \mathrm{m}. A aproximação de pequeno ângulo foi válida aqui porque y/L\approx 0{,}068\ll1. Vou adotar o valor mais preciso
d \approx 9{,}29\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Parte (b): quantos máximos, em princípio, podem ser observados?
  • A equação para máximos é d\sin\theta = m\lambda. Como |\sin\theta|\le 1, a ordem máxima possível m_{\max} satisfaz
m_{\max}\lambda \le d \quad\Rightarrow\quad m_{\max} \le \frac{d}{\lambda}.
  • Como m é inteiro, o maior m possível é o inteiro mais próximo para baixo:
m_{\max} = \left\lfloor \frac{d}{\lambda}\right\rfloor.
  • Usando o valor exato de d \approx 9{,}287\times10^{-6}\\ \mathrm{m} e \lambda = 6{,}33\times10^{-7}\\ \mathrm{m}:
\frac{d}{\lambda} \approx \frac{9{,}287\times10^{-6}}{6{,}33\times10^{-7}} \approx 14{,}67,
portanto
m_{\max} = 14.
  • Isso significa que são possíveis ordens m=0,\pm1,\pm2,\dots,\pm14. O número total de máximos brilhantes (contando os dois lados da linha central e o máximo central) é
N_{\text{total}} = 2m_{\max}+1 = 2\times14+1 = 29.

Passo 6

Resumo final e interpretação prática:
  • A separação entre as fendas é da ordem de algumas dezenas de micrômetros; calculamos d\approx 9{,}29\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Em princípio é possível observar até 14 máximos de cada lado do central, ou 29 máximos no total (incluindo o central). Boa notícia: os números são pequenos o suficiente para contar manualmente as franjas numa tela grande, mas lembre-se que limitações práticas (intensidade decrescente, resolução do sistema, largura das fendas, difração de cada fenda etc.) podem reduzir o número observável na prática.

Resposta

d = 9{,}29\times10^{-6}\\ \mathrm{m}
Número total de máximos observáveis (em princípio): 29

Exercícios relacionados