Two narrow slits are separated by a distance d. Their interference pattern is to be observed on a screen a large distance L away. (a) Calculate the spacing between successive maxima near the center fringe for light that has a 500-\mathrm{nm} wavelength, when L is 1.00 m and d is 1.00 cm . (b) Would you expect to be able to observe the interference of light on the screen for this situation? (c) How close together should the slits be placed for the maxima to be separated by 1.00 mm for this wavelength and screen distance?

Passo 1

O enunciado dá um sistema de duas fendas separadas por uma distância e pede características do padrão de interferência observado numa tela distante. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
  • Pedidos:
    (a) Calcular o espaçamento entre máximos sucessivos perto da franja central.
    (b) Dizer se é razoável conseguir observar essa interferência na tela.
    (c) Determinar quão próximas as fendas devem estar para que o espaçamento entre máximos seja 1{,}00\\ \mathrm{mm}.
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento de onda da luz: \lambda = 500\\ \mathrm{nm}.
    • Distância tela-fendas: L = 1{,}00\\ \mathrm{m}.
    • Separação das fendas (para a parte a): d = 1{,}00\\ \mathrm{cm}.
Observação: onde for necessário farei conversão de unidades (por exemplo \mathrm{nm} para \mathrm{m}, \mathrm{cm} para \mathrm{m}). Não começo a resolver ainda, apenas organizei o que foi pedido e o que temos.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que usaremos (explicada passo a passo).
  • Para duas fendas com separação \,d, os máximos de interferência (ordem inteira m) ocorrem quando a diferença de caminho entre as ondas vindas das duas fendas é um múltiplo inteiro de \lambda. Essa condição é
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é a separação entre as fendas,
  • \theta é o ângulo que o máximo de ordem m faz em relação à linha central (normal à fenda),
  • m é um inteiro ( 0,\pm1,\pm2,\dots),
  • \lambda é o comprimento de onda.
  • Para telas distantes (regime de Fraunhofer, que vale aqui porque L é grande comparado a d), e para máximos próximos ao centro, os ângulos \theta são pequenos. Então podemos usar a aproximação de pequeno ângulo:
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \frac{y}{L},
onde y é a posição do máximo medido na tela a partir da franja central.
  • Substituindo na condição dos máximos e isolando y obtemos a posição do m-ésimo máximo:
d\frac{y_m}{L} \approx m\lambda \quad\Rightarrow\quad y_m \approx \frac{m\lambda L}{d}.
  • O espaçamento entre máximos sucessivos (entre m e m+1) é então
\Delta y = y_{m+1}-y_m \approx \frac{(m+1)\lambda L}{d}-\frac{m\lambda L}{d}=\frac{\lambda L}{d}.
Essa fórmula simples \Delta y = \dfrac{\lambda L}{d} é a que usaremos nas partes (a) e (c). Aqui explicito o significado de cada variável novamente:
  • \Delta y: distância entre máximos sucessivos na tela (medida perpendicular à direção central),
  • \lambda: comprimento de onda,
  • L: distância fendas–tela,
  • d: separação entre fendas.

Passo 3

Cálculo numérico da parte (a) usando a fórmula \Delta y = \dfrac{\lambda L}{d}.
Primeiro converto as unidades para o SI:
\lambda = 500\\ \mathrm{nm} = 5{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
L = 1{,}00\\ \mathrm{m},
d = 1{,}00\\ \mathrm{cm} = 1{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Agora aplico a fórmula:
\Delta y = \frac{\lambda L}{d} = \frac{5{,}00\times10^{-7}\times 1{,}00}{1{,}00\times10^{-2}} = 5{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Faço conversões práticas:
5{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{m} = 50\\ \mu\mathrm{m} = 0{,}050\\ \mathrm{mm}.
Portanto o espaçamento entre máximos é \,5{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{m} (ou 50\\ \mu\mathrm{m}).

Passo 4

Resposta e justificativa detalhada da parte (b): será possível observar esse padrão na tela?
  • Calculo primeiro a separação angular entre máximos (pode ajudar a comparar com a resolução do olho):
\theta \approx \frac{\lambda}{d} = \frac{5{,}00\times10^{-7}}{1{,}00\times10^{-2}} = 5{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{rad}.
  • Comparo com a resolução angular humana típica: o olho humano saudável distingue detalhes de aproximadamente 1' (um minuto de arco), isto é
1' = \frac{1^\circ}{60} = \frac{\pi}{180\times60}\\ \mathrm{rad}\approx 2{,}91\times10^{-4}\\ \mathrm{rad}.
Esse valor corresponde, à distância L=1{,}00\\ \mathrm{m}, a um detalhe mínimo resolvível de aproximadamente
y_{\text{olho}}\approx (2{,}91\times10^{-4}\\ \mathrm{rad})\times 1{,}00\\ \mathrm{m}\approx 2{,}91\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}291\\ \mathrm{mm}=291\\ \mu\mathrm{m}.
  • Comparando:
    • espaçamento calculado entre máximos: 50\\ \mu\mathrm{m},
    • resolução típica do olho a 1\\ \mathrm{m}: \approx 291\\ \mu\mathrm{m}.
Conclusão objetiva: o espaçamento de 50\\ \mu\mathrm{m} é muito menor do que a resolução angular típica do olho a essa distância, portanto não será facilmente observável a olho nu sobre uma tela colocada a 1\\ \mathrm{m}. Para ver os máximos seria necessário usar ampliação (lupa, microscópio, câmera com boa resolução), ou aumentar L ou diminuir d.
Observações práticas adicionais (curtas e relevantes):
  • A visibilidade das franjas também depende da coerência da fonte (um laser monocromático e coerente facilita muito), e da largura das fendas (se as fendas forem muito largas, o envelope de difração pode apagar as franjas). Como o enunciado não dá detalhes de largura das fendas nem da fonte, a comparação de espaçamento com a resolução do olho é o argumento principal para a observação prática.
  • Em resumo: com as fendas separadas 1{,}00\\ \mathrm{cm} e L=1{,}00\\ \mathrm{m}, a separação é muito pequena para ser vista sem recurso a amplificação.

Passo 5

Cálculo da parte (c): encontrar d para que \Delta y = 1{,}00\\ \mathrm{mm}.
Usamos a mesma fórmula, isolando d:
\Delta y = \frac{\lambda L}{d}\quad\Rightarrow\quad d = \frac{\lambda L}{\Delta y}.
Coloco os valores em SI:
\lambda = 5{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m},\quad L=1{,}00\\ \mathrm{m},\quad \Delta y = 1{,}00\\ \mathrm{mm} = 1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Agora calculo:
d = \frac{5{,}00\times10^{-7}\times 1{,}00}{1{,}00\times10^{-3}} = 5{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Faço conversão para unidades familiares:
5{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m} = 0{,}500\\ \mathrm{mm}.
Interpretação prática: para obter máximos separados por 1{,}00\\ \mathrm{mm} num ecrã a 1{,}00\\ \mathrm{m} com \lambda=500\\ \mathrm{nm}, as fendas devem estar a cerca de 0{,}500\\ \mathrm{mm} uma da outra — ou seja, muito mais próximas do que o caso inicial de 1{,}00\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) \Delta y = 5{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{m} = 50\\ \mu\mathrm{m} = 0{,}050\\ \mathrm{mm}
(b) Não, não seria facilmente observável a olho nu; o espaçamento ( 50\\ \mu\mathrm{m}) é muito menor que a resolução angular típica do olho a 1{,}00\\ \mathrm{m} (≈ 291\\ \mu\mathrm{m}), portanto precisa-se de ampliação ou ajuste das fendas/condições.
(c) d = 5{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m} = 0{,}500\\ \mathrm{mm}

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