Light that has a wavelength equal to 700 nm is incident on a pinhole of diameter 0.100 mm . (a) What is the angle between the central maximum and the first diffraction minimum for a Fraunhofer diffraction pattern? (b) What is the distance between the central maximum and the first diffraction minimum on a screen 8.00 m away? ssm
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado pede e quais dados temos. O enunciado pergunta duas coisas:
- (a) Qual é o ângulo entre o máximo central e o primeiro mínimo de difração (padrão de Fraunhofer)?
- (b) Qual a distância entre o máximo central e o primeiro mínimo numa tela a
de distância?
Dados fornecidos no enunciado:
- Comprimento de onda:
. - Diâmetro do pinhole (abertura circular):
. - Distância até a tela:
.
Passo 2
Qual a fórmula que vamos usar e por quê?
Para uma abertura circular (um “pinhole”) o padrão de Fraunhofer tem um máximo central (disco de Airy) e o primeiro mínimo angular dado pela condição
Para uma abertura circular (um “pinhole”) o padrão de Fraunhofer tem um máximo central (disco de Airy) e o primeiro mínimo angular dado pela condição
Explicação curta e intuitiva: o fator
aparece porque a distribuição de intensidade para uma abertura circular é governada por funções de Bessel; o primeiro zero dessa função (o limite do disco de Airy) ocorre em
. Aqui:
-
é o ângulo entre o eixo central e o primeiro mínimo, -
é o comprimento de onda, -
é o diâmetro da abertura.
Passo 3
Converter as unidades para o SI (metros):
Passo 4
Calcular
usando a fórmula da abertura circular:
Passo 5
Obter
. Para este valor pequeno de
podemos usar
(aproximação de pequeno ângulo), mas também podemos aplicar a função arco-seno para ser mais rigoroso:
Converter para graus:
Observação amigável: o ângulo é bem pequeno (≈0,49°), por isso a aproximação
é válida e dá praticamente o mesmo número.
Passo 6
Calcular a distância entre o máximo central e o primeiro mínimo na tela: se a tela está a uma distância
do orifício, a distância radial na tela é
Para ângulos pequenos
(em radianos), então
Usando
e
:
Em centímetros:
Passo 7
Resumo e pequena motivação: o procedimento principal foi aplicar a condição do primeiro mínimo para uma abertura circular (
), converter unidades, calcular o ângulo (em rad e em graus) e então usar
com a aproximação de pequeno ângulo. Dá para fazer tudo na prova rapidamente: calcular
, multiplicar por
, pegar o arco-seno (ou aceitar
) e multiplicar por
.
Resposta
(a)
(b)