Light that has a wavelength equal to 700 nm is incident on a pinhole of diameter 0.100 mm . (a) What is the angle between the central maximum and the first diffraction minimum for a Fraunhofer diffraction pattern? (b) What is the distance between the central maximum and the first diffraction minimum on a screen 8.00 m away? ssm

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado pede e quais dados temos. O enunciado pergunta duas coisas:
  • (a) Qual é o ângulo entre o máximo central e o primeiro mínimo de difração (padrão de Fraunhofer)?
  • (b) Qual a distância entre o máximo central e o primeiro mínimo numa tela a 8,00\\ \text{m} de distância?
Dados fornecidos no enunciado:
  • Comprimento de onda: \lambda = 700\\ \text{nm}.
  • Diâmetro do pinhole (abertura circular): D = 0{,}100\\ \text{mm}.
  • Distância até a tela: L = 8{,}00\\ \text{m}.

Passo 2

Qual a fórmula que vamos usar e por quê?
Para uma abertura circular (um “pinhole”) o padrão de Fraunhofer tem um máximo central (disco de Airy) e o primeiro mínimo angular dado pela condição
\sin\theta = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}.
Explicação curta e intuitiva: o fator 1{,}22 aparece porque a distribuição de intensidade para uma abertura circular é governada por funções de Bessel; o primeiro zero dessa função (o limite do disco de Airy) ocorre em 1{,}22\,\lambda/D. Aqui:
  • \theta é o ângulo entre o eixo central e o primeiro mínimo,
  • \lambda é o comprimento de onda,
  • D é o diâmetro da abertura.

Passo 3

Converter as unidades para o SI (metros):
\lambda = 700\\ \text{nm} = 700\times10^{-9}\\ \text{m}, \qquad D = 0{,}100\\ \text{mm} = 0{,}100\times10^{-3}\\ \text{m} = 1{,}00\times10^{-4}\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular \sin\theta usando a fórmula da abertura circular:
\frac{\lambda}{D}=\frac{700\times10^{-9}}{1{,}00\times10^{-4}}=700\times10^{-5}=7{,}00\times10^{-3}.
\sin\theta = 1{,}22\cdot7{,}00\times10^{-3}=8{,}54\times10^{-3}.

Passo 5

Obter \theta. Para este valor pequeno de \sin\theta podemos usar \theta\approx\sin\theta (aproximação de pequeno ângulo), mas também podemos aplicar a função arco-seno para ser mais rigoroso:
\theta = \arcsin(8{,}54\times10^{-3}) \approx 8{,}54\times10^{-3}\\ \text{rad}.
Converter para graus:
\theta_{\text{deg}} = \theta\cdot\frac{180}{\pi} \approx 8{,}54\times10^{-3}\cdot\frac{180}{\pi}\approx0{,}4897^\circ.
Observação amigável: o ângulo é bem pequeno (≈0,49°), por isso a aproximação \theta\approx\sin\theta é válida e dá praticamente o mesmo número.

Passo 6

Calcular a distância entre o máximo central e o primeiro mínimo na tela: se a tela está a uma distância L do orifício, a distância radial na tela é
y = L\tan\theta.
Para ângulos pequenos \tan\theta\approx\theta (em radianos), então
y \approx L\theta.
Usando \theta\approx8{,}54\times10^{-3}\\ \text{rad} e L=8{,}00\\ \text{m}:
y \approx 8{,}00\cdot8{,}54\times10^{-3}=6{,}832\times10^{-2}\\ \text{m}=0{,}0683\\ \text{m}.
Em centímetros:
y\approx6{,}83\\ \text{cm}.

Passo 7

Resumo e pequena motivação: o procedimento principal foi aplicar a condição do primeiro mínimo para uma abertura circular ( \sin\theta=1{,}22\lambda/D), converter unidades, calcular o ângulo (em rad e em graus) e então usar y=L\tan\theta com a aproximação de pequeno ângulo. Dá para fazer tudo na prova rapidamente: calcular \lambda/D, multiplicar por 1{,}22, pegar o arco-seno (ou aceitar \theta\approx\sin\theta) e multiplicar por L.

Resposta

(a) \theta = 8{,}54\times10^{-3}\\ \text{rad} \approx 0{,}4897^\circ
(b) y = 0{,}0683\\ \text{m} \approx 6{,}83\\ \text{cm}

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