The ceiling of your lecture hall is probably covered with acoustic tile, which has small holes separated by about 6.0 mm . (a) Using light that has a wavelength of 500 nm , how far could you be from this tile and still resolve the holes? Assume the diameter of the pupil of each of your eyes is about 5.0 mm . (b) Could you resolve the holes better using red light or violet light? Explain your answer.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
O enunciado pergunta:
- (a) Até que distância você pode estar do forro (com furos separados por cerca de
) e ainda conseguir resolver os furos usando luz de comprimento de onda , sabendo que o diâmetro da pupila é . - (b) Se seria possível resolver melhor os furos usando luz vermelha ou violeta, e pedir uma explicação.
Informações relevantes (peguei estes dados do enunciado):
- Separação entre furos:
. - Comprimento de onda da luz usada:
. - Diâmetro da pupila (abertura do “instrumento”):
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando bem cada coisa).
Quando olhamos objetos pequenos através de uma abertura circular (a pupila do olho), a capacidade de distinguir dois pontos separados é limitada pela difração. A condição de resolução comumente usada é o critério de Rayleigh, que diz que o menor ângulo resolvível é aproximadamente
Explicando cada símbolo:
-
é o ângulo mínimo entre dois pontos que o olho consegue separar (em radianos, para pequenos ângulos). -
é o comprimento de onda da luz usada (em metros). -
é o diâmetro da abertura circular, aqui a pupila (em metros). - O fator
vem da primeira máxima lateral do padrão de difração de uma abertura circular (padrão de Airy).
Além disso, se dois furos têm separação física
e estão a uma distância
do observador, o ângulo subtendido por essa separação (assumindo pequenos ângulos) é aproximado por
Portanto, para resolver os furos precisamos que a separação angular
seja pelo menos igual ao limite de difração
.
Passo 3
Montando a equação de resolução e isolando a distância
.
Comparando as duas expressões para
,
Isolando
:
Essa fórmula nos dá a maior distância
na qual os dois furos, separados por
, ainda aparecem separáveis pelo olho com pupila de diâmetro
quando iluminados com comprimento de onda
.
Passo 4
Converter unidades e calcular numericamente passo a passo.
Primeiro converto todos os dados para metros (SI):
Calculo o numerador
:
Calculo o denominador
:
Agora
:
Arredondando de forma razoável (dados com duas casas sensíveis), obtemos
Interpretação: com luz de
e pupila de
, você conseguiria resolver furos separados por
até cerca de
de distância (distâncias menores facilitam resolução; acima disso a difração do olho torna os furos indistintos).
Passo 5
Resposta à parte (b): vermelho ou violeta — qual resolve melhor? (explicação e exemplo numérico)
A fórmula do critério de Rayleigh mostra que
(o limite de resolução angular) é proporcional a
:
Como
, vemos que
é inversamente proporcional a
. Portanto, quanto menor for o comprimento de onda
, maior será a distância
na qual dois pontos com separação fixa ainda podem ser resolvidos — isto é, comprimentos de onda menores permitem melhor resolução.
Logo, luz violeta (menor
) permite resolver melhor do que luz vermelha (maior
).
Exemplo numérico rápido:
- Para vermelho, digamos
: - Para violeta, digamos
:
Portanto, com luz violeta você poderia estar mais longe e ainda resolver os furos; com luz vermelha a distância máxima seria menor.
Resposta
(a)
(b) Violeta — a resolução melhora com comprimento de onda menor, portanto luz violeta (menor ) permite resolver melhor do que luz vermelha.
(b) Violeta — a resolução melhora com comprimento de onda menor, portanto luz violeta (menor