The ceiling of your lecture hall is probably covered with acoustic tile, which has small holes separated by about 6.0 mm . (a) Using light that has a wavelength of 500 nm , how far could you be from this tile and still resolve the holes? Assume the diameter of the pupil of each of your eyes is about 5.0 mm . (b) Could you resolve the holes better using red light or violet light? Explain your answer.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
O enunciado pergunta:
  • (a) Até que distância você pode estar do forro (com furos separados por cerca de 6{,}0\\ \text{mm}) e ainda conseguir resolver os furos usando luz de comprimento de onda 500\\ \text{nm}, sabendo que o diâmetro da pupila é 5{,}0\\ \text{mm}.
  • (b) Se seria possível resolver melhor os furos usando luz vermelha ou violeta, e pedir uma explicação.
Informações relevantes (peguei estes dados do enunciado):
  • Separação entre furos: s = 6{,}0\\ \text{mm}.
  • Comprimento de onda da luz usada: \lambda = 500\\ \text{nm}.
  • Diâmetro da pupila (abertura do “instrumento”): D = 5{,}0\\ \text{mm}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando bem cada coisa).
Quando olhamos objetos pequenos através de uma abertura circular (a pupila do olho), a capacidade de distinguir dois pontos separados é limitada pela difração. A condição de resolução comumente usada é o critério de Rayleigh, que diz que o menor ângulo resolvível é aproximadamente
\theta = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}.
Explicando cada símbolo:
  • \theta é o ângulo mínimo entre dois pontos que o olho consegue separar (em radianos, para pequenos ângulos).
  • \lambda é o comprimento de onda da luz usada (em metros).
  • D é o diâmetro da abertura circular, aqui a pupila (em metros).
  • O fator 1{,}22 vem da primeira máxima lateral do padrão de difração de uma abertura circular (padrão de Airy).
Além disso, se dois furos têm separação física s e estão a uma distância L do observador, o ângulo subtendido por essa separação (assumindo pequenos ângulos) é aproximado por
\theta \approx \frac{s}{L}.
Portanto, para resolver os furos precisamos que a separação angular s/L seja pelo menos igual ao limite de difração 1{,}22\lambda/D.

Passo 3

Montando a equação de resolução e isolando a distância L.
Comparando as duas expressões para \theta,
\frac{s}{L} = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}.
Isolando L:
L = \frac{s\,D}{1{,}22\,\lambda}.
Essa fórmula nos dá a maior distância L na qual os dois furos, separados por s, ainda aparecem separáveis pelo olho com pupila de diâmetro D quando iluminados com comprimento de onda \lambda.

Passo 4

Converter unidades e calcular numericamente passo a passo.
Primeiro converto todos os dados para metros (SI):
s = 6{,}0\\ \text{mm} = 6{,}0\times10^{-3}\\ \text{m},
D = 5{,}0\\ \text{mm} = 5{,}0\times10^{-3}\\ \text{m},
\lambda = 500\\ \text{nm} = 500\times10^{-9}\\ \text{m} = 5{,}00\times10^{-7}\\ \text{m}.
Calculo o numerador sD:
sD = \bigl(6{,}0\times10^{-3}\bigr)\bigl(5{,}0\times10^{-3}\bigr) = 30{,}0\times10^{-6} = 3{,}0\times10^{-5}\\ \text{m}^2.
Calculo o denominador 1{,}22\,\lambda:
1{,}22\,\lambda = 1{,}22\cdot 5{,}00\times10^{-7} = 6{,}10\times10^{-7}\\ \text{m}.
Agora L:
L = \frac{3{,}0\times10^{-5}}{6{,}10\times10^{-7}} = \frac{3{,}0}{6{,}10}\times10^{2} \approx 0{,}4918\times10^{2} \approx 4{,}918\times10^{1}\\ \text{m}.
Arredondando de forma razoável (dados com duas casas sensíveis), obtemos
L \approx 49\\ \text{m}.
Interpretação: com luz de 500\\ \text{nm} e pupila de 5{,}0\\ \text{mm}, você conseguiria resolver furos separados por 6{,}0\\ \text{mm} até cerca de 49\\ \text{m} de distância (distâncias menores facilitam resolução; acima disso a difração do olho torna os furos indistintos).

Passo 5

Resposta à parte (b): vermelho ou violeta — qual resolve melhor? (explicação e exemplo numérico)
A fórmula do critério de Rayleigh mostra que \theta (o limite de resolução angular) é proporcional a \lambda:
\theta \propto \lambda.
Como L = sD/(1{,}22\lambda), vemos que L é inversamente proporcional a \lambda. Portanto, quanto menor for o comprimento de onda \lambda, maior será a distância L na qual dois pontos com separação fixa ainda podem ser resolvidos — isto é, comprimentos de onda menores permitem melhor resolução.
Logo, luz violeta (menor \lambda) permite resolver melhor do que luz vermelha (maior \lambda).
Exemplo numérico rápido:
  • Para vermelho, digamos \lambda_{\text{vermelho}}=700\\ \text{nm}: L_{\text{vermelho}}\approx 49\cdot\frac{500}{700}\approx 35\\ \text{m}.
  • Para violeta, digamos \lambda_{\text{violeta}}=400\\ \text{nm}: L_{\text{violeta}}\approx 49\cdot\frac{500}{400}\approx 61\\ \text{m}.
Portanto, com luz violeta você poderia estar mais longe e ainda resolver os furos; com luz vermelha a distância máxima seria menor.

Resposta

(a) L \approx 49\\ \text{m}
(b) Violeta — a resolução melhora com comprimento de onda menor, portanto luz violeta (menor \lambda) permite resolver melhor do que luz vermelha.

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