Calcule as integrais
integral x^2 sen(beta x) d x (use integração por partes e regra da substituição)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^2 sin(beta x) , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente usando o método de integração por partes e a regra da substituição. Para resolver, vamos precisar identificar partes da função que vão ser diferenciadas e integradas, seguindo a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher u e dv da nossa integral original integral x^2 sin(beta x) , dx. Geralmente, escolhemos u como a parte que simplifica quando derivada. Então, vamos definir:
u = x^2 e dv = sin(beta x) , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
du = ddx(x^2) , dx = 2x , dx
Para encontrar v, precisamos integrar dv:
v = integral sin(beta x) , dx
Sabemos que:
integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
Aplicando isso com k = beta:
v = -1beta cos(beta x)

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo u, v, du:
integral x^2 sin(beta x) , dx = x^2 (-1beta cos(beta x)) - integral (-1beta cos(beta x)) (2x) , dx
Simplificando:
= -x^2beta cos(beta x) + 2beta integral x cos(beta x) , dx

Passo 5

Agora, temos uma nova integral integral x cos(beta x) , dx que também vamos resolver por integração por partes. Vamos escolher novamente:
u = x e dv = cos(beta x) , dx
Calculando du e v:
du = dx
v = integral cos(beta x) , dx = 1beta sin(beta x)

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes para essa nova integral:
integral x cos(beta x) , dx = x cdot 1beta sin(beta x) - integral 1beta sin(beta x) , dx
Simplificando:
= xbeta sin(beta x) - 1beta integral sin(beta x) , dx
Integrando sin(beta x):
integral sin(beta x) , dx = -1beta cos(beta x) + C
Então:
= xbeta sin(beta x) + 1beta^2 cos(beta x) + C

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
-x^2beta cos(beta x) + 2beta ( xbeta sin(beta x) + 1beta^2 cos(beta x) ) + C
Distribuindo 2beta:
-x^2beta cos(beta x) + 2xbeta^2 sin(beta x) + 2beta^3 cos(beta x) + C

Resposta

A integral integral x^2 sin(beta x) , dx é igual a:
-x^2beta cos(beta x) + 2xbeta^2 sin(beta x) + 2beta^3 cos(beta x) + C

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