\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\cos (h)-1}{h}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(h)-1}{h}.
Informações dadas:
  • A expressão envolve a função cosseno \cos e a variável h que tende a 0.
  • Se simplesmente substituirmos h=0 obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}, pois \cos(0)-1=0. Então é preciso manipular a expressão para avaliar o limite.

Passo 2

Estratégia básica (sem usar derivadas): usar uma identidade trigonométrica que transforme \cos(h)-1 numa expressão envolvendo \sin ao quadrado, pois existe um limite fundamental conhecido para \sin x / x quando x\to0.

Passo 3

Identidade útil (derivada da fórmula do cosseno de ângulo duplo). Para qualquer a vale
\cos(2a)=1-2\sin^2(a).
Tomando a=\dfrac{h}{2} obtemos a identidade que precisamos:
\cos(h)=1-2\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right).
Subtraindo 1 dos dois lados dá a forma desejada:
\cos(h)-1=-2\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right).

Passo 4

Substituímos essa identidade no quociente original e simplificamos passo a passo.
Primeiro:
\frac{\cos(h)-1}{h}=\frac{-2\sin^2\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{h}.
Agora escrever \sin^2 em termos de \left(\dfrac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2 para aproveitar o limite conhecido:
\frac{-2\sin^2\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{h} = -2\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{\dfrac{h}{2}}\right)^2\cdot\frac{\left(\dfrac{h}{2}\right)^2}{h}.
Calcule a última fração:
\frac{\left(\dfrac{h}{2}\right)^2}{h}=\frac{h^2/4}{h}=\frac{h}{4}.
Portanto a expressão fica
\frac{\cos(h)-1}{h}=-2\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{\dfrac{h}{2}}\right)^2\cdot\frac{h}{4}.
Simplificando o coeficiente:
\frac{\cos(h)-1}{h}=-\frac{h}{2}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{\dfrac{h}{2}}\right)^2.

Passo 5

Lembrete importante (limite fundamental): sabe-se que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,
desde que os ângulos estejam em radianos. Uma prova clássica usa desigualdades geométricas no círculo unitário: para 0<x<\tfrac{\pi}{2} tem-se \cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1; passando ao limite e usando a continuidade de \cos chega-se a 1. Esse resultado também vale quando x\to 0 por ambos os lados.

Passo 6

Aplicando o limite ao fator que apareceu:
  • Como h\to 0 temos \dfrac{h}{2}\to 0, então
\lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{\dfrac{h}{2}}=1.
  • Assim o quadrado também tende a 1:
\lim_{h\to 0}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{\dfrac{h}{2}}\right)^2=1.
  • O outro fator é -\dfrac{h}{2}, que tende a 0 quando h\to 0.
Multiplicando os limites (produto de limites quando existem) obtemos
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=\left(\lim_{h\to 0}-\frac{h}{2}\right)\cdot 1 = 0.

Passo 7

Observação extra (checagem rápida): essa mesma resposta pode ser vista como o valor da derivada de \cos x em x=0 via definição de derivada:
\cos'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(0+h)-\cos(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0,
já que \cos'(x)=-\sin x e -\sin 0=0. Mas a abordagem anterior (identidade trigonométrica + limite \sin x/x) é mais elementar e adequada se ainda não se usa derivadas.

Resposta

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