A expressão envolve a função cosseno \cos e a variável h que tende a 0.
Se simplesmente substituirmos h=0 obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}, pois \cos(0)-1=0. Então é preciso manipular a expressão para avaliar o limite.
Passo 2
Estratégia básica (sem usar derivadas): usar uma identidade trigonométrica que transforme \cos(h)-1 numa expressão envolvendo \sin ao quadrado, pois existe um limite fundamental conhecido para \sin x / x quando x\to0.
Passo 3
Identidade útil (derivada da fórmula do cosseno de ângulo duplo). Para qualquer a vale
\cos(2a)=1-2\sin^2(a).
Tomando a=\dfrac{h}{2} obtemos a identidade que precisamos:
\cos(h)=1-2\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right).
Subtraindo 1 dos dois lados dá a forma desejada:
\cos(h)-1=-2\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right).
Passo 4
Substituímos essa identidade no quociente original e simplificamos passo a passo.
Primeiro:
Lembrete importante (limite fundamental): sabe-se que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,
desde que os ângulos estejam em radianos. Uma prova clássica usa desigualdades geométricas no círculo unitário: para 0<x<\tfrac{\pi}{2} tem-se \cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1; passando ao limite e usando a continuidade de \cos chega-se a 1. Esse resultado também vale quando x\to 0 por ambos os lados.
já que \cos'(x)=-\sin x e -\sin 0=0. Mas a abordagem anterior (identidade trigonométrica + limite \sin x/x) é mais elementar e adequada se ainda não se usa derivadas.