Passo 1
O enunciado pede o valor do limite unilaterial
Informações relevantes:
- A variável
aproxima-se de pela direita, ou seja, considera-se e . - O numerador é
e o denominador é . - Queremos saber se o quociente tende a um número finito, a
, ou se não existe.
Passo 2
Fazer uma mudança de variável simples deixa a análise mais clara. Defina
Como
, temos
(ou seja,
tende a zero por valores positivos). Reescrevendo a expressão em função de
:
portanto
Passo 3
Analise o comportamento dos fatores quando
:
- O numerador
tende para e, para pequeno e positivo, é positivo (por exemplo, se então ). - O denominador
tende para por valores positivos (já que ).
Portanto temos um número que tende a uma constante positiva dividido por um número que tende a
.
Passo 4
Fazer uma desigualdade útil para concluir o tipo de divergência. Para
vale
. Assim, para esses
,
Como
quando
, a quantidade
também tende para
. Pelo princípio da comparação (uma função maior que outra que vai a
também vai a
), conclui-se que
Passo 5
Comentário adicional (intuitivo): a expressão também pode ser escrita como
Ambos os termos
e
divergem para
quando
, mas
cresce muito mais rápido do que
, de modo que a diferença continua indo para
. Isso confirma a conclusão do passo anterior.
Passo 6
Conclusão final: como para
a expressão transforma-se em algo que cresce sem limite e positivo, o limite é
.