\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2-x}{(x-1)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite unilaterial
\lim_{x\to 1^{+}} \frac{2-x}{(x-1)^{3}}.
Informações relevantes:
  • A variável x aproxima-se de 1 pela direita, ou seja, considera-se x>1 e x\to1.
  • O numerador é 2-x e o denominador é (x-1)^{3}.
  • Queremos saber se o quociente tende a um número finito, a \pm\infty, ou se não existe.

Passo 2

Fazer uma mudança de variável simples deixa a análise mais clara. Defina
h = x-1.
Como x\to1^{+}, temos h\to 0^{+} (ou seja, h tende a zero por valores positivos). Reescrevendo a expressão em função de h:
2-x = 2-(1+h)=1-h,
portanto
\frac{2-x}{(x-1)^{3}}=\frac{1-h}{h^{3}}.

Passo 3

Analise o comportamento dos fatores quando h\to 0^{+}:
  • O numerador \;1-h\; tende para \;1\; e, para h pequeno e positivo, é positivo (por exemplo, se 0<h<\tfrac{1}{2} então 1-h>\tfrac{1}{2}).
  • O denominador \;h^{3}\; tende para 0 por valores positivos (já que h>0).
Portanto temos um número que tende a uma constante positiva dividido por um número que tende a 0^{+}.

Passo 4

Fazer uma desigualdade útil para concluir o tipo de divergência. Para 0<h<\tfrac{1}{2} vale 1-h>\tfrac{1}{2}. Assim, para esses h,
\frac{1-h}{h^{3}}>\frac{1/2}{h^{3}}.
Como \dfrac{1}{h^{3}}\to +\infty quando h\to 0^{+}, a quantidade \dfrac{1/2}{h^{3}} também tende para +\infty. Pelo princípio da comparação (uma função maior que outra que vai a +\infty também vai a +\infty), conclui-se que
\frac{1-h}{h^{3}}\to +\infty\quad\text{quando }h\to 0^{+}.

Passo 5

Comentário adicional (intuitivo): a expressão também pode ser escrita como
\frac{1-h}{h^{3}}=\frac{1}{h^{3}}-\frac{1}{h^{2}}.
Ambos os termos \dfrac{1}{h^{3}} e \dfrac{1}{h^{2}} divergem para +\infty quando h\to0^{+}, mas \dfrac{1}{h^{3}} cresce muito mais rápido do que \dfrac{1}{h^{2}}, de modo que a diferença continua indo para +\infty. Isso confirma a conclusão do passo anterior.

Passo 6

Conclusão final: como para x\to1^{+} a expressão transforma-se em algo que cresce sem limite e positivo, o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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