Q38. Um trem viaja para o sul a 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (em relação ao solo) sob uma chuva que o vento impele para o sul. A trajetória das gotas de chuva forma um ângulo de 21,6^{\circ} com a vertical, quando medido por um observador estacionário sobre a Terra. Um passageiro sentado no trem vê, no entanto, traços de chuva deixados na vidraça perfeitamente verticais. Calcule a velocidade das gotas de chuva em relaçāo a Terra. R: 81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listá‑las com calma):
  • A velocidade do trem em relação à Terra é 30\\ \mathrm{m/s} para o sul.
  • Um observador fixo na Terra vê as trajetórias das gotas fazendo um ângulo de 21,6^\circ com a vertical (o desvio é para o sul).
  • Um passageiro no trem vê os traços de chuva na vidraça perfeitamente verticais (isto é, na referência do trem a velocidade das gotas tem componente horizontal nula).
    O que o problema pede: calcular a velocidade escalar das gotas de chuva em relação à Terra (ou seja, o módulo de \vec{v}_{\text{gotas, Terra}}).

Passo 2

Conceito-chave: velocidade relativa e soma vetorial de velocidades.
Seja \vec{v}_{\text{R}} a velocidade das gotas em relação à Terra e \vec{v}_{\text{T}} a velocidade do trem em relação à Terra. A velocidade das gotas vista pelo passageiro (velocidade das gotas relativa ao trem) é
\vec{v}_{\text{R/T}}=\vec{v}_{\text{R}}-\vec{v}_{\text{T}}.
Explicando em palavras: a velocidade relativa é a diferença vetorial entre a velocidade da chuva no chão e a velocidade do trem — isso é o que o passageiro “vê”.

Passo 3

Escolha de eixos e decomposição em componentes (isso facilita a conta):
  • Eixo x: horizontal, positivo para o sul.
  • Eixo y: vertical, positivo para baixo (assim a componente vertical da chuva que cai será positiva).
    Denotemos as componentes de \vec{v}_{\text{R}} por v_{R,x} (horizontal, sul) e v_{R,y} (vertical, para baixo). A velocidade do trem tem componentes
v_{T,x}=30\\ \mathrm{m/s},\qquad v_{T,y}=0.
A observação do passageiro (traços verticais) significa que a componente horizontal da velocidade relativa é zero:
(v_{R,x}-v_{T,x})=0.

Passo 4

A partir da condição do passo anterior obtemos diretamente:
v_{R,x}=v_{T,x}=30\\ \mathrm{m/s}.
Em palavras: a chuva, vista da Terra, tem componente horizontal para o sul igual à velocidade do trem, porque o trem “anula” essa componente no referencial do passageiro.

Passo 5

Relação trigonométrica entre componentes e o ângulo dado. O ângulo de 21,6^\circ é o ângulo entre a direção da velocidade das gotas e a vertical. Para um vetor \vec{v}_{\text{R}} com módulo v vale
\sin(21,6^\circ)=\frac{|v_{R,x}|}{v}.
Aqui |v_{R,x}|=30\\ \mathrm{m/s}. Portanto
v=\frac{30}{\sin(21,6^\circ)}.
Explicando: como o ângulo é medido a partir da vertical, a componente horizontal é justamente v\sin\theta.

Passo 6

Cálculo numérico da expressão. Usando uma aproximação para \sin(21,6^\circ):
\sin(21,6^\circ)\approx 0,36816
(este valor pode ser obtido com tabela trigonométrica ou calculadora; aqui usei a expansão em série para explicar por trás do valor). Assim
v\approx\frac{30}{0,36816}\approx 81,45\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando ao valor pedido no enunciado, obtemos 81\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Pequena verificação de consistência (opcional, para firmar a intuição): a componente vertical é
v_{R,y}=v\cos(21,6^\circ)\approx 81{,}45\cdot\cos(21,6^\circ)\approx 81{,}45\cdot 0{,}9297\approx 75{,}7\\ \mathrm{m/s},
e de fato \sqrt{30^2+75{,}7^2}\approx81{,}45, o que confirma a coerência do cálculo.

Resposta

81\\ \mathrm{m/s}

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