Q38. Um trem viaja para o sul a
(em relação ao solo) sob uma chuva que o vento impele para o sul. A trajetória das gotas de chuva forma um ângulo de
com a vertical, quando medido por um observador estacionário sobre a Terra. Um passageiro sentado no trem vê, no entanto, traços de chuva deixados na vidraça perfeitamente verticais. Calcule a velocidade das gotas de chuva em relaçāo a Terra. R:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listá‑las com calma):
- A velocidade do trem em relação à Terra é
para o sul. - Um observador fixo na Terra vê as trajetórias das gotas fazendo um ângulo de
com a vertical (o desvio é para o sul). - Um passageiro no trem vê os traços de chuva na vidraça perfeitamente verticais (isto é, na referência do trem a velocidade das gotas tem componente horizontal nula).
O que o problema pede: calcular a velocidade escalar das gotas de chuva em relação à Terra (ou seja, o módulo de).
Passo 2
Conceito-chave: velocidade relativa e soma vetorial de velocidades.
Seja a velocidade das gotas em relação à Terra e
a velocidade do trem em relação à Terra. A velocidade das gotas vista pelo passageiro (velocidade das gotas relativa ao trem) é
Seja
Explicando em palavras: a velocidade relativa é a diferença vetorial entre a velocidade da chuva no chão e a velocidade do trem — isso é o que o passageiro “vê”.
Passo 3
Escolha de eixos e decomposição em componentes (isso facilita a conta):
- Eixo
: horizontal, positivo para o sul. - Eixo
: vertical, positivo para baixo (assim a componente vertical da chuva que cai será positiva).
Denotemos as componentes depor (horizontal, sul) e (vertical, para baixo). A velocidade do trem tem componentes
A observação do passageiro (traços verticais) significa que a componente horizontal da velocidade relativa é zero:
Passo 4
A partir da condição do passo anterior obtemos diretamente:
Em palavras: a chuva, vista da Terra, tem componente horizontal para o sul igual à velocidade do trem, porque o trem “anula” essa componente no referencial do passageiro.
Passo 5
Relação trigonométrica entre componentes e o ângulo dado. O ângulo de
é o ângulo entre a direção da velocidade das gotas e a vertical. Para um vetor
com módulo
vale
Aqui
. Portanto
Explicando: como o ângulo é medido a partir da vertical, a componente horizontal é justamente
.
Passo 6
Cálculo numérico da expressão. Usando uma aproximação para
:
(este valor pode ser obtido com tabela trigonométrica ou calculadora; aqui usei a expansão em série para explicar por trás do valor). Assim
Arredondando ao valor pedido no enunciado, obtemos
.
Passo 7
Pequena verificação de consistência (opcional, para firmar a intuição): a componente vertical é
e de fato
, o que confirma a coerência do cálculo.