Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função quando $ x $ tende ao infinito. O enunciado é:
A matéria envolvida é limite no infinito de funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com $ x $ grande e usar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, olhamos para o numerador: $ \sqrt{2x^2 + 1} $. Quando $ x $ está chegando a infinito, o termo $ 2x^2 $ domina o $ +1 $. Então, podemos fatorar $ x^2 $ de dentro da raiz para facilitar:
Passo 3
Agora, substituímos isso de volta na fração original:
Passo 4
Para simplificar ainda mais, vamos dividir o numerador e o denominador por $ x $:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento quando $ x $ tende ao infinito:
- $ \frac{1}{x^2} $ tende a 0
- $ \frac{5}{x} $ também tende a 0
Então, a expressão fica:
Resposta
O limite é igual a $ \frac{\sqrt{2}}{3} $.