lim x infty raiz2 x^2+13 x-5=lim x infty raiz2+1x^23-5x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função quando $ x $ tende ao infinito. O enunciado é:
x
A matéria envolvida é limite no infinito de funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com $ x $ grande e usar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, olhamos para o numerador: $ \sqrt{2x^2 + 1} $. Quando $ x $ está chegando a infinito, o termo $ 2x^2 $ domina o $ +1 $. Então, podemos fatorar $ x^2 $ de dentro da raiz para facilitar:
raiz2x^2 + 1

Passo 3

Agora, substituímos isso de volta na fração original:
raiz2x^2 + 13x - 5 = xraiz2 + 1x^23x - 5

Passo 4

Para simplificar ainda mais, vamos dividir o numerador e o denominador por $ x $:
x

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento quando $ x $ tende ao infinito:
  • $ \frac{1}{x^2} $ tende a 0
  • $ \frac{5}{x} $ também tende a 0
Então, a expressão fica:
x

Resposta

O limite é igual a $ \frac{\sqrt{2}}{3} $.

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