Calcule as seguintes integrais:
integral cot g^7(x) csc ^6(x) d x
R:-(-20 sen(x)^6+45 (x)^4-36 sen(x)^2+10)120 sen(x)^12

Passo 1

A questão pede para calcular integral cot^7(x),csc^6(x),dx. O conteúdo principal aqui é a integração de potências de cot(x) e csc(x), e vamos precisar usar a identidade csc^2(x)=1+cot^2(x) junto com uma substituição do tipo u=cot(x).

Passo 2

Primeiro, escrevemos csc^6(x) como csc^4(x),csc^2(x) e lembramos que csc^4(x)=(csc^2(x))^2=(1+cot^2(x))^2. Assim:
[\displaystyle \int \cot7(x),\csc6(x),dx = \int \cot7(x),(1+\cot2(x))2,\csc2(x),dx.]

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=cot(x). Daí temos du=-csc^2(x),dx, ou seja, csc^2(x),dx=-du. Substituindo em nosso integral:
[\displaystyle \int \cot7(x),\csc6(x),dx = -\int u7,(1+u2)^2,du.]

Passo 4

Em seguida, expandimos o polinômio em u:
[\displaystyle u7,(1+u2)^2 = u^7,(1 + 2u^2 + u^4) = u^7 + 2u^9 + u^{11}.]
Portanto o integral fica:
[\displaystyle -\int (u^7 + 2u^9 + u^{11}),du = -\Bigl(\frac{u^8}{8} + \frac{2u^{10}}{10} + \frac{u^{12}}{12}\Bigr) + C.]

Passo 5

Por fim, simplificamos os coeficientes e voltamos para x usando u=cot(x). Colocando tudo sobre um denominador comum (120), obtemos:
[\displaystyle -\frac{15,\cot^8(x) + 24,\cot^{10}(x) + 10,\cot^{12}(x)}{120} + C.]

Resposta

\displaystyle -\frac{15,\cot^8(x) + 24,\cot^{10}(x) + 10,\cot^{12}(x)}{120} + C

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