Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
A questão pede para calcular
. O conteúdo principal aqui é a integração de potências de
e
, e vamos precisar usar a identidade
junto com uma substituição do tipo
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
como
e lembramos que
. Assim:
[\displaystyle \int \cot7(x),\csc6(x),dx = \int \cot7(x),(1+\cot2(x))2,\csc2(x),dx.]
[\displaystyle \int \cot7(x),\csc6(x),dx = \int \cot7(x),(1+\cot2(x))2,\csc2(x),dx.]
Passo 3
Agora fazemos a substituição
. Daí temos
, ou seja,
. Substituindo em nosso integral:
[\displaystyle \int \cot7(x),\csc6(x),dx = -\int u7,(1+u2)^2,du.]
[\displaystyle \int \cot7(x),\csc6(x),dx = -\int u7,(1+u2)^2,du.]
Passo 4
Em seguida, expandimos o polinômio em
:
[\displaystyle u7,(1+u2)^2 = u^7,(1 + 2u^2 + u^4) = u^7 + 2u^9 + u^{11}.]
Portanto o integral fica:
[\displaystyle -\int (u^7 + 2u^9 + u^{11}),du = -\Bigl(\frac{u^8}{8} + \frac{2u^{10}}{10} + \frac{u^{12}}{12}\Bigr) + C.]
[\displaystyle u7,(1+u2)^2 = u^7,(1 + 2u^2 + u^4) = u^7 + 2u^9 + u^{11}.]
Portanto o integral fica:
[\displaystyle -\int (u^7 + 2u^9 + u^{11}),du = -\Bigl(\frac{u^8}{8} + \frac{2u^{10}}{10} + \frac{u^{12}}{12}\Bigr) + C.]
Passo 5
Por fim, simplificamos os coeficientes e voltamos para
usando
. Colocando tudo sobre um denominador comum (120), obtemos:
[\displaystyle -\frac{15,\cot^8(x) + 24,\cot^{10}(x) + 10,\cot^{12}(x)}{120} + C.]
[\displaystyle -\frac{15,\cot^8(x) + 24,\cot^{10}(x) + 10,\cot^{12}(x)}{120} + C.]
Resposta
\displaystyle -\frac{15,\cot^8(x) + 24,\cot^{10}(x) + 10,\cot^{12}(x)}{120} + C