\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}, onde a é uma constante

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pedem o valor do limite \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}, onde a é uma constante (assumir a\in\mathbb{R}).
  • Informação importante: \frac{a}{n}\to 0 quando n\to\infty, então o fator dentro do parêntese tende a 1.
  • Objetivo: encontrar o valor numérico (em função de a) desse limite quando n cresce sem limite.

Passo 2

Estratégia básica: tomar logaritmo natural para “descer” o expoente e transformar produto/potência em multiplicação, resolver o limite do logaritmo e depois voltar exponenciando.
Motivação e justificativa:
  • Para aplicações do logaritmo é preciso que os termos sejam positivos. Observação: \displaystyle 1+\frac{a}{n}\to 1>0, então para n suficientemente grande temos 1+\frac{a}{n}>0. Assim, para toda sequência de índices grandes podemos aplicar o ln, e o comportamento assintótico é preservado ao exponenciar depois.
  • Defina L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}, se existir. Então podemos estudar \ln L=\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\ln\!\left(1+\frac{a}{n}\right). Se encontrarmos esse limite, basta aplicar a função exponencial para recuperar L.

Passo 3

Manipulação algébrica do logaritmo.
Escrevemos
\ln L=\lim_{n\to\infty} n\ln\!\left(1+\frac{a}{n}\right).
Agora escrevemos essa expressão de forma que apareça uma razão do tipo \dfrac{\ln(1+x)}{x}. Observe:
n\ln\!\left(1+\frac{a}{n}\right) = a\cdot \frac{\ln\!\left(1+\dfrac{a}{n}\right)}{\dfrac{a}{n}}.
Aqui fiz a multiplicação e divisão por a (se a=0 a manipulação continua válida pelo limite diretamente, veja abaixo). Note que \dfrac{a}{n}\to 0 quando n\to\infty.

Passo 4

Uso de um limite fundamental: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1. Vou justificar esse limite de forma simples.
Justificativa (método rápido com derivadas / regra de l’Hôpital):
  • A função x\mapsto \ln(1+x) é diferenciável em x=0. Pelo significado de derivada,
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-\ln(1+0)}{x-0}=\left.\frac{d}{dx}\ln(1+x)\right|_{x=0}=\frac{1}{1+0}=1.
Ou aplicando l’Hôpital diretamente a \dfrac{\ln(1+x)}{x} (forma 0/0): derivando numerador e denominador obtém-se \dfrac{1/(1+x)}{1}\to 1 quando x\to0.
Se quiser uma justificativa sem derivada: existem desigualdades elementares que implicam o mesmo limite, mas a versão com derivada é curta e suficiente aqui.
Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.

Passo 5

Aplicar o resultado ao nosso termo e concluir.
No nosso caso x=\dfrac{a}{n}\to0, logo
\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{a}{n}\right)}{\dfrac{a}{n}}\longrightarrow 1\quad\text{quando }n\to\infty.
Pelo Passo 3,
\ln L=\lim_{n\to\infty} a\cdot \frac{\ln\!\left(1+\dfrac{a}{n}\right)}{\dfrac{a}{n}} = a\cdot 1 = a.
Agora exponenciando ambos os lados obtemos
L = e^{\ln L} = e^{a}.
Comentário sobre o caso a=0: se a=0 então a sequência é \left(1+\dfrac{0}{n}\right)^n=1 para todo n, e e^{0}=1, consistente com o resultado.
Também vale para a negativo: como observado, para n grande 1+\dfrac{a}{n}>0, portanto a manipulação com log é válida e a conclusão permanece e^{a}.

Resposta

e^{a}

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