\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}, onde a é uma constante
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado.
Pedem o valor do limite \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}, onde a é uma constante (assumir a\in\mathbb{R}).
Informação importante: \frac{a}{n}\to 0 quando n\to\infty, então o fator dentro do parêntese tende a 1.
Objetivo: encontrar o valor numérico (em função de a) desse limite quando n cresce sem limite.
Passo 2
Estratégia básica: tomar logaritmo natural para “descer” o expoente e transformar produto/potência em multiplicação, resolver o limite do logaritmo e depois voltar exponenciando.
Motivação e justificativa:
Para aplicações do logaritmo é preciso que os termos sejam positivos. Observação: \displaystyle 1+\frac{a}{n}\to 1>0, então para n suficientemente grande temos 1+\frac{a}{n}>0. Assim, para toda sequência de índices grandes podemos aplicar o ln, e o comportamento assintótico é preservado ao exponenciar depois.
Defina L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}, se existir. Então podemos estudar \ln L=\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\ln\!\left(1+\frac{a}{n}\right). Se encontrarmos esse limite, basta aplicar a função exponencial para recuperar L.
Aqui fiz a multiplicação e divisão por a (se a=0 a manipulação continua válida pelo limite diretamente, veja abaixo). Note que \dfrac{a}{n}\to 0 quando n\to\infty.
Passo 4
Uso de um limite fundamental: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1. Vou justificar esse limite de forma simples.
Justificativa (método rápido com derivadas / regra de l’Hôpital):
A função x\mapsto \ln(1+x) é diferenciável em x=0. Pelo significado de derivada,
Ou aplicando l’Hôpital diretamente a \dfrac{\ln(1+x)}{x} (forma 0/0): derivando numerador e denominador obtém-se \dfrac{1/(1+x)}{1}\to 1 quando x\to0.
Se quiser uma justificativa sem derivada: existem desigualdades elementares que implicam o mesmo limite, mas a versão com derivada é curta e suficiente aqui.