As matrizes P=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -2 i-1 & 2 i-1\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{cc}2 i+2 & 0 \\\\ 0 & 2-2 i\end{array}\right] são tais que A=P D P^{-1}.
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{l} x_{1}(t) \\\ x_{2}(t) \end{array}\right]=c_{1} e^{2 t}\left(\cos 2 t\left[\begin{array}{c} 1 \\\\ -1 \end{array}\right]-\operatorname{sen} 2 t\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ -2 \end{array}\right]\right)+} \\\ & c_{2} e^{2 t}\left(\cos 2 t\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ -2 \end{array}\right]+\operatorname{sen} 2 t\left[\begin{array}{c} 1 \\\\ -1 \end{array}\right]\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -2i-1 & 2i-1\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}2i+2 & 0 \\[4pt] 0 & 2-2i\end{pmatrix},
com a relação A=PDP^{-1}. A tarefa implícita é obter a solução geral real do sistema linear \dot{x}=Ax (ou equivalente: encontrar a base de soluções reais para x(t)). Informações relevantes extraídas:
  • As entradas da diagonal de D são os autovalores \lambda_1=2+2i e \lambda_2=2-2i.
  • As colunas de P são autovetores correspondentes; em particular a primeira coluna é o autovetor complexo
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1-2i\end{pmatrix}.
  • Observação útil: a segunda coluna de P é o conjugado complexo de v, o que indica que temos um par conjugado de autovalores/autovetores.
O que se pede: escrever a forma real e geral de x(t) (combinação linear com constantes reais) em passos claros.]

Passo 2

Conceito-chave (explicado passo a passo): quando A tem um par de autovalores complexos conjugados \lambda=a+ib e \overline{\lambda}=a-ib com autovetores conjugados v=p+iq e \overline{v}=p-iq (com p,q vetores reais), então duas soluções reais fundamentais do sistema \dot{x}=Ax são
e^{at}\bigl(p\cos(bt)-q\sin(bt)\bigr) \quad\text{e}\quad e^{at}\bigl(p\sin(bt)+q\cos(bt)\bigr).
Por que isso funciona (pequena demonstração): considere a solução complexa x_c(t)=e^{\lambda t}v. Escrevendo v=p+iq e e^{\lambda t}=e^{at}(\cos bt + i\sin bt), obtém-se
e^{\lambda t}v = e^{at}\bigl[(p\cos bt - q\sin bt) + i(p\sin bt + q\cos bt)\bigr].
As partes real e imaginária dessa expressão são soluções reais independentes (pois o sistema tem coeficientes reais). Logo obtemos as duas soluções reais acima.

Passo 3

Aplicar o conceito aos dados: o autovalor tem a=2 e b=2 (pois \lambda_1=2+2i). O autovetor dado é
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1-2i\end{pmatrix}.
Escrevemos v=p+iq com p e q reais, separando parte real e imaginária componente a componente. Assim:
p=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}, \qquad q=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
(Observação: peguei v da primeira coluna de P.)]

Passo 4

Construir as duas soluções reais fundamentais usando a fórmula do Passo 2 com a=2, b=2, p e q acima.
Primeira solução:
\phi_1(t)=e^{2t}\bigl(p\cos 2t - q\sin 2t\bigr) = e^{2t}\!\left(\cos 2t\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} - \sin 2t\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\end{pmatrix}\right).
Segunda solução:
\phi_2(t)=e^{2t}\bigl(p\sin 2t + q\cos 2t\bigr) = e^{2t}\!\left(\sin 2t\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} + \cos 2t\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\end{pmatrix}\right).
Nota rápida de cálculo componente a componente (para confirmar): para \phi_1 a segunda componente é
e^{2t}\bigl(-\cos 2t -(-2)\sin 2t\bigr)=e^{2t}\bigl(-\cos 2t +2\sin 2t\bigr),
o que coincide com a combinação vetorial escrita acima.]

Passo 5

A solução geral real do sistema é a combinação linear com constantes reais c_1,c_2 das duas soluções fundamentais:
x(t)=c_1\phi_1(t)+c_2\phi_2(t).
Substituindo \phi_1 e \phi_2 obtém-se exatamente a expressão fornecida no enunciado.

Resposta

\begin{aligned} \begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[4pt]x_{2}(t)\end{pmatrix} &=c_{1}e^{2t}\!\left(\cos 2t\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}-\sin 2t\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\end{pmatrix}\right)\\[6pt] &\quad +c_{2}e^{2t}\!\left(\cos 2t\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\end{pmatrix}+\sin 2t\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\right) \end{aligned}]

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