As matrizes P=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -2 i-1 & 2 i-1\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{cc}2 i+2 & 0 \\\\ 0 & 2-2 i\end{array}\right] são tais que A=P D P^{-1}.
com a relação A=PDP^{-1}. A tarefa implícita é obter a solução geral real do sistema linear \dot{x}=Ax (ou equivalente: encontrar a base de soluções reais para x(t)). Informações relevantes extraídas:
As entradas da diagonal de D são os autovalores \lambda_1=2+2i e \lambda_2=2-2i.
As colunas de P são autovetores correspondentes; em particular a primeira coluna é o autovetor complexo
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1-2i\end{pmatrix}.
Observação útil: a segunda coluna de P é o conjugado complexo de v, o que indica que temos um par conjugado de autovalores/autovetores.
O que se pede: escrever a forma real e geral de x(t) (combinação linear com constantes reais) em passos claros.]
Passo 2
Conceito-chave (explicado passo a passo): quando A tem um par de autovalores complexos conjugados \lambda=a+ib e \overline{\lambda}=a-ib com autovetores conjugados v=p+iq e \overline{v}=p-iq (com p,q vetores reais), então duas soluções reais fundamentais do sistema \dot{x}=Ax são
Por que isso funciona (pequena demonstração): considere a solução complexa x_c(t)=e^{\lambda t}v. Escrevendo v=p+iq e e^{\lambda t}=e^{at}(\cos bt + i\sin bt), obtém-se
As partes real e imaginária dessa expressão são soluções reais independentes (pois o sistema tem coeficientes reais). Logo obtemos as duas soluções reais acima.
Passo 3
Aplicar o conceito aos dados: o autovalor tem a=2 e b=2 (pois \lambda_1=2+2i). O autovetor dado é
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1-2i\end{pmatrix}.
Escrevemos v=p+iq com p e q reais, separando parte real e imaginária componente a componente. Assim: