Questão 1 (1 ponto cada) (Colocar somente resposta)
Passo 1
O enunciado dá duas funções definidas por integrais e pede as derivadas delas:
-
. Pede-se . -
. Pede-se .
Informações relevantes fornecidas:
- Em ambas, a integração é em relação à variável
e o limite superior depende de . - Em
há um sinal negativo multiplicando a integral. - Em
o limite superior é .
Passo 2
Lembrete teórico (ferramenta que vamos usar): Regra fundamental do cálculo + regra da cadeia.
Seja
, onde
é contínua e
é diferenciável. Então
Explicando em palavras: derivar a integral em que o limite superior é uma função de
dá o integrando avaliado nesse limite vezes a derivada do limite. Se o limite inferior dependesse de
, viria um sinal negativo análogo.
Também usaremos a derivada da raiz quadrada:
Passo 3
Aplicando a ideia ao caso de
.
Defina
e
. Então a integral dentro de
é
. Pela regra do Passo 2, a derivada dessa integral (sem o sinal negativo) é
Passo 4
Agora inclua o sinal negativo que estava em
. Assim
Simplificando
, obtemos
Passo 5
Agora
. Aqui
e o limite superior é
. Pela mesma regra,
Como
e
, segue