Questão 1 (1 ponto cada) (Colocar somente resposta)
F(x)=-\int_{1}^{\sqrt{x}} \sqrt{t^{4}+1} d t \quad \Rightarrow \quad F^{\prime}(x)=
G(x)=\int_{0}^{x^{2}} \cos \left(t^{2}\right) d t \quad \Rightarrow \quad G^{\prime}(x)=

Passo 1

O enunciado dá duas funções definidas por integrais e pede as derivadas delas:
  • F(x) = -\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{x}} \sqrt{t^{4}+1}\,dt. Pede-se F'(x).
  • G(x) = \displaystyle\int_{0}^{x^{2}} \cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt. Pede-se G'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • Em ambas, a integração é em relação à variável t e o limite superior depende de x.
  • Em F há um sinal negativo multiplicando a integral.
  • Em G o limite superior é x^{2}.

Passo 2

Lembrete teórico (ferramenta que vamos usar): Regra fundamental do cálculo + regra da cadeia.
Seja H(x)=\displaystyle\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt, onde f é contínua e u(x) é diferenciável. Então
H'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Explicando em palavras: derivar a integral em que o limite superior é uma função de x dá o integrando avaliado nesse limite vezes a derivada do limite. Se o limite inferior dependesse de x, viria um sinal negativo análogo.
Também usaremos a derivada da raiz quadrada:
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Aplicando a ideia ao caso de F.
Defina f(t)=\sqrt{t^{4}+1} e u(x)=\sqrt{x}. Então a integral dentro de F é \displaystyle\int_{1}^{u(x)} f(t)\,dt. Pela regra do Passo 2, a derivada dessa integral (sem o sinal negativo) é
\frac{d}{dx}\left(\int_{1}^{\sqrt{x}} \sqrt{t^{4}+1}\,dt\right) = f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) = \sqrt{\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{4}+1}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Agora inclua o sinal negativo que estava em F. Assim
F'(x) = -\sqrt{\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{4}+1}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Simplificando \bigl(\sqrt{x}\bigr)^{4} = x^{2}, obtemos
F'(x) = -\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Agora G(x). Aqui f(t)=\cos(t^{2}) e o limite superior é u(x)=x^{2}. Pela mesma regra,
G'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x)=\cos\bigl((x^{2})^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}).
Como \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x e (x^{2})^{2}=x^{4}, segue
G'(x)=2x\cos\bigl(x^{4}\bigr).

Resposta

\displaystyle F'(x)=-\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2\sqrt{x}}
\displaystyle G'(x)=2x\cos\bigl(x^{4}\bigr)

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