e) \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-x^{2}-7 x+3}{x^{5}-3 x^{4}-x^{2}+6 x-9}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando x tende a 3:
\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{3}-x^{2}-7x+3}{x^{5}-3x^{4}-x^{2}+6x-9}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é o polinômio x^{3}-x^{2}-7x+3.
  • O denominador é o polinômio x^{5}-3x^{4}-x^{2}+6x-9.
  • O ponto de interesse é x=3.
    As tarefas óbvias: verificar se a substituição direta dá um valor determinado ou uma forma indeterminada e, se for indeterminado, usar um método (fatoração, divisão, L’Hôpital etc.) para eliminar a indeterminação e calcular o limite.

Passo 2

Tentar substituição direta: calcular o numerador e o denominador em x=3.
Calcular o numerador em x=3:
3^{3}-3^{2}-7\cdot 3+3 = 27-9-21+3 = 0.
Calcular o denominador em x=3:
3^{5}-3\cdot 3^{4}-3^{2}+6\cdot 3-9 = 243-243-9+18-9 = 0.
Como ambos numerador e denominador valem zero em x=3, a expressão assume a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Isso exige manipulação algébrica (ou L’Hôpital) para prosseguir.

Passo 3

Explicação didática das opções e escolha do método:
A forma \tfrac{0}{0} indica que tanto numerador quanto denominador têm x-3 (ou outro fator) em comum. Para polinômios, o método mais direto e básico é usar o Teorema do Resto / Teorema do Factor: se p(3)=0 então (x-3) é fator de p(x). Podemos dividir os polinômios por (x-3) (divisão sintética ou divisão polinomial) e simplificar. Esse método é simples de aplicar em prova sem calculadora e evita derivadas. Vou usar divisão sintética (muito prática para testar raízes inteiras): escrever os coeficientes, “trazer” o primeiro coeficiente, multiplicar pela raiz e somar sucessivamente.
Aplicar divisão sintética no numerador x^{3}-x^{2}-7x+3 com raíz x=3. Coeficientes: 1,\,-1,\,-7,\,3.
Passos da divisão sintética:
  • Trago 1 para baixo.
  • Multiplico 1 por 3 e adiciono ao próximo coeficiente: -1 + 1\cdot 3 = 2.
  • Multiplico 2 por 3 e adiciono: -7 + 2\cdot 3 = -1.
  • Multiplico -1 por 3 e adiciono: 3 + (-1)\cdot 3 = 0.
O resto é 0 (confirmando que (x-3) é fator) e o quociente tem coeficientes 1,\,2,\,-1, isto é o polinômio x^{2}+2x-1. Logo:
x^{3}-x^{2}-7x+3=(x-3)\,(x^{2}+2x-1).

Passo 4

Fazer a divisão sintética no denominador x^{5}-3x^{4}+0x^{3}+0x^{2}-x^{2}+6x-9. Colocar todos os graus: x^{5}-3x^{4}+0x^{3}+0x^{2}-1x^{2}+6x-9 — atenção: organizar corretamente os coeficientes por grau. Os coeficientes são 1,\,-3,\,0,\,0,\,-1,\,6,\,-9. (Notei que o polinômio original já tem os termos em ordem; aqui apenas explicito o coeficiente zero para x^3.)
Aplicando divisão sintética com x=3:
  • Trago 1 para baixo.
  • Multiplico 1 por 3 e adiciono: -3 + 1\cdot 3 = 0.
  • Multiplico 0 por 3 e adiciono: 0 + 0\cdot 3 = 0.
  • Multiplico 0 por 3 e adiciono: -1 + 0\cdot 3 = -1.
  • Multiplico -1 por 3 e adiciono: 6 + (-1)\cdot 3 = 3.
  • Multiplico 3 por 3 e adiciono: -9 + 3\cdot 3 = 0.
O resto é 0, confirmando que (x-3) é fator do denominador também. O quociente tem coeficientes 1,\,0,\,0,\,-1,\,3, isto é o polinômio
x^{4}+0x^{3}+0x^{2}-x+3 = x^{4}-x+3.
Portanto:
x^{5}-3x^{4}-x^{2}+6x-9 = (x-3)\,(x^{4}-x+3).

Passo 5

Simplificar a fração cancelando o fator comum (x-3). Para x\neq 3 temos igualdade algébrica e, para o limite, podemos usar a forma simplificada:
\frac{x^{3}-x^{2}-7x+3}{x^{5}-3x^{4}-x^{2}+6x-9} = \frac{(x-3)(x^{2}+2x-1)}{(x-3)(x^{4}-x+3)} = \frac{x^{2}+2x-1}{x^{4}-x+3},\quad x\neq 3.
Como o limite envolve aproximação de x a 3 (não necessariamente x=3), a simplificação é válida para calcular o limite.
Agora aplicar substituição direta na expressão simplificada, que já não dá indeterminação:
Calcular o numerador em x=3:
3^{2}+2\cdot 3-1 = 9+6-1 = 14.
Calcular o denominador em x=3:
3^{4}-3+3 = 81-3+3 = 81.
Portanto a expressão simplificada em x=3 vale \dfrac{14}{81}.

Passo 6

Verificação final e comentário: a fração \dfrac{14}{81} não pode ser simplificada porque 14=2\cdot 7 e 81=3^{4} não têm fatores em comum. Logo o limite existe e é exatamente \dfrac{14}{81}. Bom trabalho — a técnica principal aqui foi reconhecer a forma indeterminada, usar o Teorema do Resto/Factor e divisão sintética para cancelar o fator comum e então avaliar.

Resposta

\dfrac{14}{81}

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