e)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - O ponto de interesse é
.
As tarefas óbvias: verificar se a substituição direta dá um valor determinado ou uma forma indeterminada e, se for indeterminado, usar um método (fatoração, divisão, L’Hôpital etc.) para eliminar a indeterminação e calcular o limite.
Passo 2
Tentar substituição direta: calcular o numerador e o denominador em
.
Calcular o numerador em
:
Calcular o denominador em
:
Como ambos numerador e denominador valem zero em
, a expressão assume a forma indeterminada
. Isso exige manipulação algébrica (ou L’Hôpital) para prosseguir.
Passo 3
Explicação didática das opções e escolha do método:
A forma indica que tanto numerador quanto denominador têm
(ou outro fator) em comum. Para polinômios, o método mais direto e básico é usar o Teorema do Resto / Teorema do Factor: se
então
é fator de
. Podemos dividir os polinômios por
(divisão sintética ou divisão polinomial) e simplificar. Esse método é simples de aplicar em prova sem calculadora e evita derivadas. Vou usar divisão sintética (muito prática para testar raízes inteiras): escrever os coeficientes, “trazer” o primeiro coeficiente, multiplicar pela raiz e somar sucessivamente.
A forma
Aplicar divisão sintética no numerador
com raíz
. Coeficientes:
.
Passos da divisão sintética:
- Trago
para baixo. - Multiplico
por e adiciono ao próximo coeficiente: - Multiplico
por e adiciono: - Multiplico
por e adiciono:
O resto é
(confirmando que
é fator) e o quociente tem coeficientes
, isto é o polinômio
. Logo:
Passo 4
Fazer a divisão sintética no denominador
. Colocar todos os graus:
— atenção: organizar corretamente os coeficientes por grau. Os coeficientes são
. (Notei que o polinômio original já tem os termos em ordem; aqui apenas explicito o coeficiente zero para
.)
Aplicando divisão sintética com
:
- Trago
para baixo. - Multiplico
por e adiciono: - Multiplico
por e adiciono: - Multiplico
por e adiciono: - Multiplico
por e adiciono: - Multiplico
por e adiciono:
O resto é
, confirmando que
é fator do denominador também. O quociente tem coeficientes
, isto é o polinômio
Portanto:
Passo 5
Simplificar a fração cancelando o fator comum
. Para
temos igualdade algébrica e, para o limite, podemos usar a forma simplificada:
Como o limite envolve aproximação de
a
(não necessariamente
), a simplificação é válida para calcular o limite.
Agora aplicar substituição direta na expressão simplificada, que já não dá indeterminação:
Calcular o numerador em :
Calcular o numerador em
Calcular o denominador em
:
Portanto a expressão simplificada em
vale
.
Passo 6
Verificação final e comentário: a fração
não pode ser simplificada porque
e
não têm fatores em comum. Logo o limite existe e é exatamente
. Bom trabalho — a técnica principal aqui foi reconhecer a forma indeterminada, usar o Teorema do Resto/Factor e divisão sintética para cancelar o fator comum e então avaliar.