Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e o que é pedido:
- Temos uma soma de Riemann do tipo
. - O termo genérico é
. - A soma vai de
até e o limite é . - O que o enunciado pede é o valor desse limite (um número ou uma integral equivalente).
Passo 2
Vamos identificar a forma padrão de uma soma de Riemann. Uma soma de Riemann típica tem a forma
onde:
-
é o comprimento de cada subintervalo da partição do intervalo , -
é um ponto de amostragem no -ésimo subintervalo (pode ser extremidade direita, esquerda ou ponto interno), - quando
essa soma tende a se for integrável (contínua) em .
Aqui podemos comparar termo a termo com a soma dada.
Passo 3
Identificamos
e
no enunciado:
- O fator
corresponde a . Logo . - O ponto de amostragem utilizado é
. - Quando
temos e quando temos . Assim os pontos variam do lado direito de subintervalos que cobrem o intervalo . Portanto a partição é do intervalo com e usa-se o extremo direito de cada subintervalo.
Passo 4
Identificamos a função
amostrada:
De fato, substituindo
obtemos exatamente o numerador e denominador do termo da soma. Assim a soma pode ser escrita como
com
e
.
Passo 5
Pelo teorema que relaciona somas de Riemann e integrais: se
for contínua em
então
A função
é contínua em todo
(denominador nunca zera), logo é contínua em
e a condição vale. Portanto o limite procurado é
Passo 6
Comentário didático sobre como proceder na prova: o passo essencial é reconhecer o padrão
, identificar
e
e o intervalo
. Se pedirem, podemos tentar calcular a integral explicitamente; neste caso a integral é
que é a forma padrão do resultado. (A primitiva não é imediata por uma substituição simples — pode-se abordar via decomposição em frações parciais complexas ou reconhecer que a questão principal aqui é a passagem soma → integral.)