1. \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{2+4 i / n}{1+(2+4 i / n)^{5}} \cdot \frac{4}{n}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{2+\tfrac{4i}{n}}{1+\bigl(2+\tfrac{4i}{n}\bigr)^{5}}\cdot\frac{4}{n}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos uma soma de Riemann do tipo \sum_{i=1}^n f(x_i)\,\Delta x.
  • O termo genérico é \displaystyle \frac{2+\tfrac{4i}{n}}{1+\bigl(2+\tfrac{4i}{n}\bigr)^{5}}\cdot\frac{4}{n}.
  • A soma vai de i=1 até i=n e o limite é n\to\infty.
  • O que o enunciado pede é o valor desse limite (um número ou uma integral equivalente).

Passo 2

Vamos identificar a forma padrão de uma soma de Riemann. Uma soma de Riemann típica tem a forma
\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x
onde:
  • \Delta x é o comprimento de cada subintervalo da partição do intervalo [a,b],
  • x_i é um ponto de amostragem no i-ésimo subintervalo (pode ser extremidade direita, esquerda ou ponto interno),
  • quando n\to\infty essa soma tende a \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx se f for integrável (contínua) em [a,b].
Aqui podemos comparar termo a termo com a soma dada.

Passo 3

Identificamos \Delta x e x_i no enunciado:
  • O fator \displaystyle\frac{4}{n} corresponde a \Delta x. Logo \Delta x=\tfrac{4}{n}.
  • O ponto de amostragem utilizado é \displaystyle x_i=2+\tfrac{4i}{n}.
  • Quando i=1 temos x_1=2+\tfrac{4}{n} e quando i=n temos x_n=2+4=6. Assim os pontos variam do lado direito de subintervalos que cobrem o intervalo [2,6]. Portanto a partição é do intervalo [2,6] com \Delta x=4/n e usa-se o extremo direito de cada subintervalo.

Passo 4

Identificamos a função f amostrada:
f(x)=\frac{x}{1+x^{5}}.
De fato, substituindo x=x_i obtemos exatamente o numerador e denominador do termo da soma. Assim a soma pode ser escrita como
\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{1+x_i^{5}}\cdot\frac{4}{n},
com x_i=2+\tfrac{4i}{n} e \Delta x=\tfrac{4}{n}.

Passo 5

Pelo teorema que relaciona somas de Riemann e integrais: se f for contínua em [2,6] então
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x = \int_{2}^{6} f(x)\,dx.
A função f(x)=\dfrac{x}{1+x^{5}} é contínua em todo \mathbb{R} (denominador nunca zera), logo é contínua em [2,6] e a condição vale. Portanto o limite procurado é
\int_{2}^{6}\frac{x}{1+x^{5}}\,dx.

Passo 6

Comentário didático sobre como proceder na prova: o passo essencial é reconhecer o padrão \sum f(x_i)\Delta x, identificar \Delta x e x_i e o intervalo [a,b]. Se pedirem, podemos tentar calcular a integral explicitamente; neste caso a integral é
\int_{2}^{6}\frac{x}{1+x^{5}}\,dx,
que é a forma padrão do resultado. (A primitiva não é imediata por uma substituição simples — pode-se abordar via decomposição em frações parciais complexas ou reconhecer que a questão principal aqui é a passagem soma → integral.)

Resposta

\int_{2}^{6}\frac{x}{1+x^{5}}\,dx

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